Kernelul unei transformări liniare se numește subspațiu rădăcină al înălțimii k și este notat cu. Subspațiul rădăcină este diferit de vectorul zero numai dacă este rădăcina polinomului caracteristic. Un spațiu liniar pe un câmp de numere complexe se împarte într-o sumă directă a subspațiilor rădăcinilor (Corolarul 1.6). În cele ce urmează, luăm în considerare posibilitatea de a diviza în continuare subspațiile rădăcinilor într-o sumă directă de subspații invariante. Spunem că vectorul are înălțime k. în cazul în care. Dăm mai multe proprietăți ale subspațiilor rădăcină.
Proprietate 1.5. În cazul în care. atunci.
Dovada. În cazul în care. atunci. și, înseamnă. care este echivalentă cu includerea. Aceasta activează alimentarea. combinând aceasta cu incluziunea inversă (proprietatea 1.4), rezultă afirmația cerută.
Polinomul minimal annihilant al spațiului rădăcinii este un divizor al polinomului. și, prin urmare, este egal. în cazul în care. Definirea unui subspațiu rădăcină implică egalitatea.
Proprietate 1.6. Dacă dimensiunea subspațiului rădăcină este egală cu gradul polinomului minim al acestui subspațiu, atunci subspațiul rădăcină nu poate fi reprezentat ca o sumă directă de subspații invariante cu dimensiuni mai mici.
Dovada. Fie k gradul polinomului minim al subspațiului rădăcină și permiteți subspațiului rădăcinii să fie o sumă directă de subspații invariante cu dimensiuni mai mici. Să fie o bază. ci o bază. Un sistem de vectori este o bază și, prin urmare, polinomul minimal annihilant al spațiului este egal cu cel mai mic multiplu comun al polinomilor minimali de anihilare a acestor vectori. În consecință, printre vectori există un vector al cărui polinom minim de anihilare este egal cu. Fără pierderea generalității, putem presupune că acesta este un vector. Sistemul de vectori este linear independent și aparține invarianței subspațiului. Deoarece există vectori k în sistemul construit, dimensiunea nu este mai mică decât k. care contrazice ipoteza.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: