Culoarea roșie indică un vector propriu. El, spre deosebire de albastru, nu a schimbat direcția și lungimea sub deformare, deci este un vector propriu. corespunzătoare valorii proprii λ = 1. Orice vector paralel cu vectorul roșu va fi, de asemenea, corespunzător, corespunzător aceleiași valori proprii. Setul de astfel de vectori (împreună cu cel zero) formează un subspațiu adecvat.
Definiții ale valorii proprii, eigenvectorului și vectorului rădăcină al operatorului liniar
Fie L un spațiu liniar pe un câmp K. O transformare liniară.
Vectorul propriu al unei transformări liniare A este un vector non-zero, astfel încât pentru unii
Valoarea proprie a transformării liniare A este un număr pentru care există un eigenvector, adică ecuația Ax = λx are o soluție nonzero.
Un subspațiu adecvat al unei transformări liniare A pentru o valoare proprie dată este setul tuturor vectorilor proprii corespunzători unei valori proprii date (completate de un vector zero). Îl denotăm prin Eλ. Prin definiție,
unde E este operatorul de identitate.
Vectorul rădăcină al unei transformări liniare A pentru o valoare proprie dată este un vector nenul, astfel încât pentru un număr natural m
Dacă m este cel mai mic dintre astfel de numere naturale (adică), atunci m este numit înălțimea vectorului rădăcină x.
Subspațiul rădăcină al unei transformări liniare A pentru o valoare proprie dată este setul tuturor vectorilor rădăcini care corespund unei valori proprii date (completate de un vector zero). Îl denotăm prin Vλ. Prin definiție,
Proprietăți ale valorilor proprii, vectorilor proprii și vectorilor și spațiilor rădăcinilor
Caz general
Un subspațiu se numește un subspațiu invariant al unei transformări liniare A (subspațiu -invariant) dacă
.- Eigensubspaces Eλ. Subspațiile rădăcinii Vλ și subspațiile Vm, λ ale operatorului liniar A sunt A-variabile.
- Vectorii proprii sunt rădăcina (înălțimea 1) :;
- Este posibil ca vectorii rădăcină să nu fie potriviți: de exemplu, pentru a converti un spațiu bidimensional definit de o matrice
- Pentru diferitele valori proprii, subspațiile rădăcină (și, prin urmare, corespunzătoare) au o intersecție trivială (zero):
Spații liniare finit-dimensionale
Alegerea unei baze în spațiul linear n-dimensional L., se poate asocia o matrice pătrată cu o transformare liniară și se definește un polinom caracteristic pentru ea
.
- Polinomul caracteristic nu depinde de o bază în L. Coeficienții săi sunt invarianți ai operatorului A. În special, ele nu depind de alegerea bazei.
- Valorile proprii, și numai acestea, sunt rădăcinile polinomului caracteristic al matricei.
- Numărul de valori proprii diferite nu poate depăși dimensiunea matricei.
Fie câmpul numărului închis algebric (de exemplu, este domeniul numerelor complexe). Apoi polinomul caracteristic se descompune în produsul n factorilor liniari
unde sunt valorile proprii; unele dintre ele pot fi egale. Pluralitatea λi - este numărul de factori fiind λ egal - λi în extinderea polinomul caracteristic în factori liniari (numită și multiplicitatea algebrică a valorii proprii).- Dimensiunea spațiului rădăcinii este egală cu multiplicitatea valorii proprii.
- Spațiul vectorial L se descompune într-o sumă directă a subspațiilor radiculare (prin teorema din forma Iordanului):
- Multiplicitatea geometrică a valorii proprii λi este dimensiunea subspațiului corespunzător corespunzător; Multiplicitatea geometrică a unei valori proprii nu depășește multiplicitatea ei, deoarece
Spațiile Hilbert peste domeniul numerelor complexe și al operatorilor obișnuiți
Prezența unui produs scalar ne permite să identificăm clase importante de operatori ai căror valori proprii și vectori proprii au un număr de proprietăți suplimentare utile.
Un operator obișnuit este un operator A. naveta cu conjugatul său A *:
clase particulare de operatori normali sunt selfadjoint (Hermitian) operatorii (A = A *), operatorii de anti-Hermitian (A = - A *) și operatori unitare (A - 1 = A *), precum și opțiunile reale: operatori simetrice operatori antisimetrică și transformări ortogonale.
- Toți vectorii rădăcină ai unui operator normal sunt corecți.
- Vectorii proprii ai operatorului normal A care corespund diferitelor valori proprii sunt ortogonali. Asta este, dacă Ax = λx. Ay = μy și apoi (x, y) = 0. (Acest lucru nu este valabil pentru un operator arbitrar.)
- Toate valorile proprii ale unui operator auto-adjunct sunt reale.
- Toate valorile proprii ale operatorului anti-hermitian sunt imaginare.
- Toate valorile proprii ale unui operator unitar se află pe cercul unității λ | = 1.
- În cazul dimensional-finit. suma dimensiunilor eigensubspaces operatorului normale care corespunde tuturor valorilor proprii sunt egale cu dimensiunea matricei și spațiul vectorial este descompus într-o eigenspace ortogonale:
- Ultima proprietate pentru un operator normal pe o caracteristică: operatorul este normal dacă și numai dacă matricea este diagonală, în orice mod ortonormală (în cazul finit-dimensional).
Matrici pozitive
O matrice reală quadratică A = (aij) se consideră a fi pozitivă dacă toate elementele sale sunt pozitive: aij> 0.
Teorema lui Perron (un caz special al teoremei Perron-Frobenius): o matrice pătrată pozitivă A are o eigenvalue pozitivă r. care are multiplicitatea algebrică 1 și depășește cu strictețe valoarea absolută a oricărei alte valori proprii a acestei matrice. Vectorul eigen corespunde valorii proprii r. toate coordonatele fiind strict pozitive. Vectorul er este vectorul unic propriu A (până la multiplicarea cu un număr) având coordonate ne-negative.
Eigenvectorul poate fi calculat prin iterații directe. alegem un vector inițial arbitrar v0 cu coordonate pozitive. Să punem:
Secvența vk converge la eigenvectorul normalizat.
O altă arie de aplicare a metodei iterațiilor directe este căutarea vectorilor proprii ai unor operatori simetrici pozitivi definiți.
literatură
- Gantmakher FR Teoria matricelor. - M. Nauka, 1966. - 576 p.
- Wilkinson D. Kh. Problema eigenvalue algebrică. - M. Nauka, 1970. - 564 p.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: