și dacă | z | <|z0 |, то ряд |z |/|z0 | n сходится, ибо является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ее знаменатель |z |/|z0 | n = |z |/|z0 | <1). Поэтому по признаку сравнения сходимости рядов из неравенства (32.5) следует, что сходится ряд |an zn |, т. е. ряд (32.2) абсолютно сходится (рис. 127).
Corolarul urmează imediat din teoremă: dacă seria (32.2) se diferențiază în punctul z0, atunci pentru | z |> | z0 | nu se poate converge la punctul z. de atunci ar converge (și chiar absolut) în punctul z0 de teorema dovedită.
Considerăm seria de putere (32.2). Evident, el converge la punctul z = 0. Am notat cu X setul tuturor numerelor real negative non-negative xR. că pentru z = x seria (32.2) converge. De la 0 X apoi
X. lăsa
Evident, 0 Dacă R = +, atunci punctele zC sunt astfel încât | z |> R. nr. Dacă R <+ и zC таково, что |z |> R. atunci pentru orice punct x astfel încât R atunci vom arăta că seria (32.2) converge uniform în disc | z | Din inegalitatea (32.7), în funcție de proprietatea razei de convergență demonstrată mai sus, rezultă că seria (32.2) converge absolut pentru z = r, adică seria | un rn converge. (32.2) implică faptul că seria (32.2) converge uniform în discul z. | z | Pentru a investiga convergența absolută, aplicăm testul d'Alembert (§30.4): În consecință, seria (32.9) converge numai pentru z = 0 și, prin urmare, raza ei de convergență este zero: R = 0. este egal cu +, deoarece în sub-secțiunea 31.1 sa arătat că această serie converge pentru orice zC. este egal cu 1, deoarece seria (32.11) converge pentru | z | <1 и расходится при |z |> 1 (paragraful 30.1, 30.2). La limita z. | z | = 1> din cercul de convergență avem | z | = 1 și, în consecință, secvența termenilor seriei (32.11) nu tinde la zero, de unde rezultă că seria (32.11) se diferențiază în toate punctele limitei cercului său de convergență. raza de convergență este de asemenea 1. Într-adevăr, pentru | z | <1 выполняется неравенство și, prin urmare, în conformitate cu caracteristica de convergență uniformă seria Weierstrass (32.12) în mod uniform și, prin urmare, pur și simplu converge. Când | z |> 1, avem | zn | .. / N 2 = +, adică, condiția necesară a unui număr de convergență (a se vedea Teorema 1 n 30.2 ..), Astfel, seria (32.12) pentru | z | > 1 este divergent. pot fi găsite prin aplicarea testului d'Alembert: avem De aceea seria (32.14) converge pentru | z | <1 и расходится при |z |> 1. Astfel, R = 1. Deoarece prin definiția unui vecinătate a unui punct toate punctele suficient de aproape de un anumit punct aparțin vecinătății sale, raza de convergență a seriei scrise este pozitivă. și, prin ipoteza teoremei, seria Rn converge. Deoarece această serie este numerică, convergența ei poate fi considerată convergență uniformă pe intervalul [0, R]. secvență și monoton pentru orice x [0, R]. În consecință, în virtutea criteriului pentru convergența uniformă Abel (subsecțiunea 31.3 *), seria (32.2) converge uniform pe intervalul [0, R]. Astfel, rândurile (32.17) și (32.18), obținute de la (32,16), respectiv, prin „integrarea formală și diferențiere“ au aceeași rază de convergență ca numărul inițial. Integrarea și diferențierea se numește formală aici, deoarece pentru funcțiile unui argument complex aceste operații nu au fost definite în noi și au fost produse ca și cum an și z ar fi numere reale. Rezultă că, în cazul în care punctul z seria absolut convergente (32,16), apoi la acest punct este seria absolut convergente (32.17), ceea ce înseamnă că raza de convergență a rândului R1 (32,17) nu este mai mică decât raza de convergență a seriilor R (32,16): R1> R. Din inegalitate rezultă că dacă seria (32.18) converge absolut la punctul z, atunci seria (32.16) converge absolut în acest punct, adică R> R2. Acum arătăm asta Luăm un punct z 0 în cercul de convergență al seriei (32.17) și demonstrăm că seria (32.18) converge în ea. Deoarece | z | Se scrie valoarea absolută a termenului seriei (32.18) după cum urmează: Am setat q = | z / r |. Având în vedere condiția (32.22) 0 converge (acest lucru poate fi ușor verificat, de exemplu, cu ajutorul testului d'Alembert). Prin urmare, secvența termenilor lui tinde la zero și este prin urmare limitată, adică există o constantă c> 0 astfel încât pentru toate n = 0, 1, 2. inegalitatea Din (32.23) și (32.24) rezultă că Deoarece rR1. atunci seria r n + 1 converge absolut, adică seria r n + 1 se converge și, prin urmare, seria nan z n -1 converge pe baza congruenței. Astfel, din condiția | z |
Teorema 2. Fie R raza de convergență a seriei (32.2). Apoi, dacă | z |
Dacă R = 0, atunci punctele zC sunt astfel încât | z |
Considerăm o serie de putere a formei generale a (z - z0) n. El converge sau diverge la un punct z dacă și numai dacă seria a converge sau diverge la punctul = z - z0, respectiv. Raza de convergență R a ultimei serii este, de asemenea, numită raza de convergență a seriilor originale an (z - z0) n.
Când variabila z = z0 este înlocuită de cercul de convergență <: | |
Rezultă din Teorema 2 că dacă R este raza de convergență a seriei a (z - z0) n. apoi pentru | z - z0 |
Observăm că din convergența uniformă a seriei (32.1) în orice disc | z - z0 |
Într-adevăr, pentru orice z. | z |
Exemple.
1. Luați în considerare seria
2. Raza de convergență a lui R a seriei
3. Raza de convergență a sumei unei progresii geometrice infinite
4. Pentru un număr de
Rețineți că în toate punctele de la limita cercului de convergență, adică pentru | z | = 1, având în vedere aceeași inegalitate (32.13), seria (32.12) converge.
5. Raza de convergență a lui R a seriei
La punctul z = 1, rândul de convergență cerc de delimitare (32,14) este transformată în serie Fourier, și deci sunt divergente, iar la z = -1 este obținut serie (-1) convergent n / n. Deci, seria (32.14) la marginea cercului de convergență sunt punctele la care converge, și punctul în care diverge. Exemplele Parsed arată că există o serie de putere, în care raza de convergență este egal cu zero (rândul (32,9)) este un întreg finit pozitiv (număr de (32.11)) și egală cu infinit (seria (32.10)). La interval de convergență număr de delimitare pot converg la toate punctele (numărul (32.12)) sau pot converge la unele puncte și diverg la celălalt (rândul (32,14)) sau să se abată de la toate punctele (numărul (32.11)).
Funcțiile care se descompun în serii de putere sunt numite analitice. Mai exact, următoarele sunt valabile
Definiția 2. O funcție f se spune a fi analitică la punctul z0. dacă în unele cartiere (vezi §5.11) din acest punct funcția f se descompune într-o serie de putere:
Teorema 3 * (a doua teorema a lui Abel). Dacă R este raza de convergență a seriei de putere (32.2), R <+ , и этот ряд сходится приz = R. то он сходится равномерно на отрезке [0,R ] действительной оси .
Corolar. Dacă seria (32.2) converge pentru z = R. atunci suma lui este continuă pe intervalul [0, R] al axei reale.
Dovada teoremei. Avem
Afirmația corolarului rezultă din continuitatea fiecărui termen al seriei (32.2) pe intervalul [0, R] și convergența uniformă a acestei serii pe intervalul indicat. Să dovedim o altă lemă pentru seriile de putere în domeniul complex, care va fi folosită în secțiunea următoare.
Lemma 1. Radii de convergență. R1 și R2 care corespund seriei
Din inegalitate
În acest fel,
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: