Calculul propozițiilor nu permite descrierea raționamentului deductiv al tuturor tipurilor, în special al deducerilor silogice. Este vorba de mijloace de exprimare prea slabe.
Dezvoltarea sa naturală este calculul predicat. Ca și calculul propozițional, calculul predicat este un sistem formal. Nu o vom descrie într-o formă atât de strictă (iubitorii rigorii pot găsi descrieri similare în literatura de specialitate la această secțiune), dar încearcă să rămână la nivelul conținutului descrierii.
Sub predicatul ne referim la unele link-ul dat pe setul de constante sau variabile, de exemplu, afirmația „mai mult.“ Dacă semantica nu este specificată, atunci nu există nimic de spus despre predicat. Poate doar că aceasta stabilește relația binară, a cărui semantică este că acesta este un anti-reflexie (nu este adevărat că „mai mult“), asimetrică și tranzitiv. Dar când specificați semantica (de exemplu, domeniile variabile) ale predicatului pot spune mult mai mult. În cazul în care - zonele urbane, respectiv, în URSS și Japonia, apoi lista de locuri de muncă a orașelor și a variabilelor de evaluare constante, obținem o relație între două afirmații de genul „zona Vologda mai mare decât zona din Tokyo“ sau „zona Leningrad mai mare decât zona Nara.“ După aceasta, devine posibil să vorbim despre adevăr sau falsitate a predicatului. Pentru exemplul nostru, primul înseamnă un predicat fals, iar al doilea este un adevărat predicat. Uneori, pentru a valida adevărul sau falsitatea unui predicat, se poate face fără semnificație. De exemplu, dacă domeniul de x sunt numere întregi pozitive, predicatul „x este mai mare decât -5„va fi identic adevărat.
Calculul predicatelor utilizează aceleași operații ca în calculul propozițional. Cu ajutorul lor se formează formule predicate. Vom desemna predicate în mari litere latine. Exemple de formule predicate sunt P (x, y) Q (a, b) sau P () P (z, 1).
În calculul predicat, sunt utilizați doi cuantificatori: cuantificatorul comunității și cuantificatorul existenței. Primul este marcat ca. iar notația xP (x) este echivalentă cu afirmația "Pentru toate x în domeniul definiției sale, P (x)" este menținută. Al doilea cuantificator este desemnat ca. și notația xP (x) este echivalentă cu afirmația "Există cel puțin un x * în domeniul definiției lui x. astfel încât P (x *) este adevărat. " Variabilele în sfera de acțiune a cuantificatorilor se numesc variabile obligatorii. variabilele rămase sunt gratuite.
Amintiți-vă IA. Krylov: "Și tu, prieteni, tot ce stai jos, toți muzicienii nu se potrivesc!". Denumim prin P (x, y) predicatul care conectează modul în care membrii cvartetului stau în jurul și calitatea muzicii pe care o interpretează. Predicatul P (x, y) devine real numai atunci când se găsește un aranjament reciproc al animalelor din cvartet, că calitatea muzicii ne permite să sunăm muzicienilor interpreți. În aceste condiții, citatul din fabula "Cvartet" corespunde formulei x P (x, y).
Dar F. Tiutchev: „Sunt zile fatidice lyuteyshego boală corporală și anxietatea morală teribilă ...“. Dacă Q (u, v) este predicatul, în care variabila u este definită pe mulțimea de zile, iar variabila v la zona de atitudini legate de „boala trupească“ și „nelinistile morale teribile“, top poemul predicatul calcul Tiutchev va corespunde formulei UQ (u, v).
Menționăm că următoarele relații se desfășoară:
Valabilitatea acestora rezultă din semnificația cuantificatorilor. Acestea permit ca orice formula din calculul predicat să fie prezentată sub forma unei forme normale prefixate (PNP). În ea, mai întâi sunt scrise toți cuantificatorii și apoi expresiile predicate. De exemplu, formula
Introducerea cuanticipatorilor și. precum și negările lor, sugerează legătura dintre calculul predicat și silogistica lui Aristotel. Să ne reamintim din nou sentimentul de cuantificatori folosiți în silogistică: Asp - "Every s is p"; Esp - "No s is p", Isp - "Unele s este p" și Osp este "Unele s nu sunt p". Se pare cu totul justificată înlocuirea acestor expresii de syllogistică cu următoarele patru formule ale calculului predicat:
La prima vedere, o astfel de înlocuire este legitimă. Dar, pentru a verifica acest lucru, este necesar să se arate că în calcularea predicatelor pot fi derivate toate modurile de sylogistică ale lui Aristotel.
Sistemul axiomelor și regulile inferenței în calculul predicat pot fi date în felul următor. Ca un sistem de axiomuri, se ia orice sistem cunoscut de axiome a calculului propozițional și se adaugă axiome specifice pentru calculul predicat, de exemplu:
Sensul lor este evident. Prima axiom spune că dacă P (x) este adevărat pentru orice x. atunci pentru unii y în același univers adevărul predicatului trebuie păstrat. A doua axie spune că dacă există un astfel de y. că F (y) este adevărat, atunci este adevărat că există x. pentru care F (x) este adevărat.
Pentru regulile de inferență utilizate în calculul propozițional, în calculul predicatelor se adaugă alte trei reguli.
1. Fie F1 și F2 două formule ale calculului predicat. Și presupunem că în F1 variabila x nu intră, dar în F2 intră ca variabilă liberă. În final, permiteți F1F2 să fie o formulă deductibilă. Apoi, formula F1xF2 este deductibilă.
2. Dacă x este conținut ca variabilă liberă în F1 și nu este conținut în această formă în F2 și dacă F1F2 este o formulă deductibilă, atunci xF1F2 este de asemenea deductibilă.
3. În cazul în care F - derivabile formule și F este un cuantificatorii universal și existențiale, că oricare dintre variabilele legate de acestea pot fi înlocuite cu alte variabile aferente, în același timp, în toate domeniile de acțiune ale cuantificatorul și cuantificator. Formula care rezultă este, de asemenea, deductibilă.
Utilizarea unui astfel de sistem de axiomuri și a unui astfel de set de reguli de inferență face posibilă obținerea unor formule identice în calculul predicatului din formule identice.
Să ne întoarcem acum la o încercare de a include declarații sylogistice în calcularea predicatelor. Studiul deductibilității a 24 de moduri, credincios în syllogismul lui Aristotel, în calcularea predicatelor a condus la următorul rezultat. Presupunând că toate clasele de entități nu sunt goale, adică raționamentul nu se referă la entități conceptuale (de exemplu, dragoni sau sirene), înlocuirea de mai sus a expresiilor syllogistice de expresiile logicii predicate va fi pe deplin justificată. Cu alte cuvinte, pentru clasele non-goale de entități, toate modurile de syllogism ale lui Aristotel sunt deduse în calculul predicat.
O situație diferită apare atunci când sunt asumate clase de entități goale. În predicatele calculului predicat cu domenii goale pentru argumente se comportă destul de diferit față de aceleași predicate cu domenii neimpozitate. În aceste condiții, toate modurile de silogistică sunt inaccesibile, în care concluzia este de natură privată, ambele premise fiind de natură generală. De exemplu, modalitățile AAI și EAO din prima cifră nu sunt disponibile:
Aș dori să atrag atenția cititorului asupra rezultatului de simulare obținut. Chiar și în domeniul raționamentului deductiv, care oferă întotdeauna rezultate fiabile, natura raționamentului uman poate fi diferită. Și nu trebuie să coincidă (așa cum este cazul cu silogistica) cu acele scheme de raționament pe care le arată calculul predicat.
Trimiteți-le prietenilor: