Definiții de bază.
Definiție: O matrice de dimensiune mxn, unde m este numărul de rânduri, n este numărul de coloane, este un tabel de numere aranjate într-o anumită ordine. Aceste numere sunt numite elemente matrice. Locația fiecărui element este determinată în mod unic de numărul rândului și coloanei la intersecția căreia se află. Elementele matricei sunt notate de aij. unde i este numărul rândului și j este numărul coloanei.
Acțiuni de bază asupra matricelor.
O matrice poate consta fie dintr-un singur rând, fie dintr-o singură coloană. În general, o matrice poate consta chiar și dintr-un singur element.
Definiția. Dacă numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri (m = n), atunci matricea se numește pătrat.
se numește matricea de identitate.
Un exemplu. - matrice simetrică
Definiția. O matrice patratică a unei forme este numită matrice diagonală.
Adunarea și scăderea matricelor se reduce la operațiile corespunzătoare pe elementele lor. Cea mai importantă proprietate a acestor operațiuni este aceea că sunt definite numai pentru matrici de aceeași mărime. Astfel, este posibilă definirea operațiilor de adăugare și scădere a matricelor:
Definitia Suma (diferenta) matricelor este o matrice, ale carei elemente sunt respectiv suma (diferenta) a elementelor matricelor originale.
Funcționarea multiplicării (împărțirea) unei matrici de orice dimensiune cu un număr arbitrar scade la multiplicarea (împărțirea) fiecărui element al matricei cu acest număr.
a (A + B) = aA ± aB
A (a + b) = aA ± bA
Un exemplu. Matrice date A =; B =. găsi 2A + B.
2A =, 2A + B =.
Funcționarea multiplicării matricelor.
Definiție: Produsul matricelor este o matrice ale cărei elemente pot fi calculate prin următoarele formule:
A * B = C;
.
Din definiția de mai sus rezultă că operația de multiplicare a matricilor este definită numai pentru matrice, numărul de coloane din primul dintre ele fiind egal cu numărul de rânduri din al doilea.
Proprietățile funcționării multiplicării matricelor.
1) Înmulțirea matricelor nu este comutativă. și anume AB nu este egal cu BA, chiar dacă ambele produse sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru orice matrice relația AB = BA este îndeplinită, atunci aceste matrici se numesc comutative.
Cel mai tipic exemplu este matricea unității, care este permutabilă cu orice altă matrice de aceeași mărime.
O matrice comutativă poate fi doar matricele pătrate de aceeași ordine.
Este evident că pentru orice matrice se află următoarele proprietăți:
A * O = O; O * A = O,
unde G este matricea zero.
2) Funcționarea multiplicării matricei este asociativă, adică dacă produsele AB și (AB) C sunt definite, atunci BC și A (BC) sunt definite și se menține următoarea egalitate:
(AB) C = A (BC).
3) Funcționarea multiplicării matricei este distributivă în ceea ce privește adăugarea; dacă expresiile A (B + C) și (A + B) C sunt semnificative, atunci, respectiv:
4) Dacă produsul AB este definit, atunci pentru orice număr a se aplică următoarea relație:
a (AB) = (aA) B = A (aB).
5) Dacă produsul AB este definit. atunci produsul B T A T este definit și se menține următoarea egalitate:
(AB) T = B T A T unde
indicele T indică matricea transpusă.
6) De asemenea, observăm că pentru orice matrice pătrată det (AB) = detA * detB.
Conceptul det (determinant, determinant) va fi luat în considerare mai jos.
Definiția. Matricea B este numită matricea de transpunere A, iar tranziția de la A la B este transpunere. Dacă elementele fiecărui rând al matricei A sunt scrise în aceeași ordine în coloanele matricei B.
A =; B = A T =;
Ca o consecință a proprietății precedente (5), putem scrie că:
(ABC) T = C T B T A T.
cu condiția ca produsul matricelor ABC să fie definit.
Un exemplu. Dat fiind matricele A =, B =, C = și numărul a = 2. Găsiți A T B + a C.
A T =; A T B = * = =;
aC =; A T B + a C = + =.
Un exemplu. Găsiți produsul matricelor A = și B =.
AB = * =.
BA = * = 2 * 1 + 4 * 4 + 1 * 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Un exemplu. Găsiți produsul matricelor A = B =
AB = * = =.
Înapoi la cuprins: Matematică superioară
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: