§ 3.5. Ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular
Opredelenie.Uravneniem linie dreaptă cu pantă numită ecuația liniei permise în ceea ce privește x, adică, o ecuație a formei
Coeficientul k pentru x se numește panta liniei drepte. Termenul liber h este ordonanța inițială a acestuia.
Ecuația generală a unui ax drept + bu + c = 0 poate fi scris ca (3.5.1), dacă și numai dacă 0, adică în condițiile în care linia dreaptă nu paralelă cu ordonata. În acest caz.
Faptul că cu un coeficient unghiular este posibil să se scrie o ecuație care nu are nici o linie dreaptă este, desigur, un dezavantaj; vom ilustra la sfârșitul paragrafului Exemplul 2. Avantajul acestei ecuații este că nu conține trei coeficienți, ca un general, ci doar două. Acești coeficienți k și h au un înțeles geometric simplu, care ar trebui clarificat. În acest scop, introducem un nou concept.
Definiția. Unghiul prin care axa abscisei trebuie rotit în direcția axei Y, astfel încât să coincidă c linia dată, numit unghiul de înclinare a liniei axei orizontale; dacă linia dreaptă este paralelă cu axa abscisei sau coincide cu aceasta, atunci unghiul de înclinare este considerat egal cu zero.
Este clar că unghiul de înclinare α este în limite.
În Fig. 3.11 prezintă unghiurile de înclinare α1 și α2 ale liniilor drepte și.
Teorema (sensul geometric al coeficientului unghiular și ordinul inițial). Coeficientul unghiular este egal cu tangenta pantei liniei drepte; Ordonata initiala este ordinul punctului de intersectie al liniei drepte cu axa ordinii.
Dovada. În prima parte a teoremei este necesar să se demonstreze că, unde α este unghiul de înclinare al liniei drepte. După ce am redactat ecuația acestei linii în formă, prin teorema din § 3.2 găsim vectorul ei de direcționare :. Apoi trebuie să luăm în considerare trei posibilități.
a). În Fig. 3,12 OA = 1, AM = k ,. Din triunghiul OAM primim imediat :.
Fig. 3.11 Fig. 3.12
b). În Fig. 3.13 OA = 1, AM = -k ,. Din triunghiul OAM avem :, de unde prin formula unei fantome ..
c). În acest caz, deoarece linia dreaptă este paralelă cu axa abscisă și prin definiție.
Teorema este dovedită în ceea ce privește coeficientul unghiular. Rămâne clarificarea semnificației geometrice a ordinii inițiale h. În acest scop, găsim coordonatele punctului H la care linia dată intersectează axa de coordonate. În acest moment, x = 0, prin urmare, din ecuația liniei drepte y = h, după cum este necesar.
Sarcina. Identificați ecuația unei linii drepte dacă se cunoaște punctul A (x0, y0) și coeficientul unghial k.
Soluția. În ecuația unei linii drepte cu un coeficient unghiular (3.5.1), numai ordonata inițială h nu este cunoscută. Dar este ușor de găsit. Din moment ce punctul A se află pe o linie dreaptă, atunci, de unde. Înlocuind această valoare în (3.5.1), obținem sau
Am obținut o ecuație de linie dreaptă cu privire la un punct și o pantă.
Cunoașterea sensului geometric al coeficientului unghiular al unei linii drepte permite să obțină formula unghiului dintre liniile drepte și condițiile de paralelism și perpendicularitate, altele decât cele care au fost obținute în § 3.3, iar în unele cazuri mai convenabil.
Să presupunem că două linii drepte și cu unghiuri de înclinare u și coeficienți de unghi u se intersectează la punctul P (Figura 3.14). Trageți prin acest punct o linie dreaptă paralelă cu abscisa. Apoi vedem că unul dintre unghiurile dintre liniile drepte (în figura indicată) este egal cu diferența dintre unghiurile de panta :. Să găsim tangenta acestui unghi :. Tangenta unghiului adiacent va diferi numai in semn :. Prin urmare, în final, formula pentru unghiul dintre linii are următoarea formă:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: