Teorema arzelor - stadopedie

Pentru a dovedi teorema menționată în § 3 despre existența unei soluții a problemei Cauchy, este mai întâi necesar să luăm în considerare dovada teoremei lui Arzela. Mai întâi introducem mai multe definiții.







Definiție 1. Se consideră că o familie de funcții este limitată uniform pe un interval dacă există un număr astfel încât pentru orice funcție din această familie și oricare dintre intervalele

De exemplu, ia în considerare familia unde este parametrul familiei. Deoarece pentru orice număr există, atunci familia de funcții specificată va fi limitată uniform pe întreaga axă reală. Dimpotrivă, familia de funcții nu va fi limitată uniform pe nici un interval, deoarece pentru orice număr există un număr și o valoare astfel încât va fi.

Definiția 2. Funcțiile unei familii se consideră a fi echicontinuă într-un interval dacă pentru fiecare există există o inegalitate astfel încât pentru orice funcție din familie și oricare două puncte și din intervalul pentru care:







De exemplu, să luăm o familie de funcții. Apoi, se poate observa că pentru oricare două puncte și următoarea estimare se menține :. În acest caz, u nu depinde de parametrul familiei. Pe de altă parte, pentru familie se dovedește

. Valoarea va depinde de parametrul familiei, deci familia nu va fi echicontinuoasă.

Definiția 3. Se spune că o secvență de funcții este convergentă uniform pe un interval închis la funcția limită dacă pentru orice număr există un număr astfel încât pentru toate numerele și pentru oricare din intervalul:

Se știe că dacă o secvență de funcții continue converge uniform pe un anumit interval, atunci funcția limită a acestei secvențe va fi, de asemenea, continuă pe acest interval. Dacă secvența de funcții continue converge, dar nu este convergentă uniform, atunci funcția limită se poate dovedi a fi discontinuă. Astfel, toate funcțiile secvenței sunt continue pe intervalul [0; 1], dar această secvență nu este convergentă uniform pe acest interval, iar funcția limită este discontinuă:







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: