Teorema 1. În transpunere, valoarea determinantului nu se modifică.
Corolar. Rândurile și coloanele din identificator sunt echivalente, adică proprietățile valabile pentru șiruri vor fi de asemenea valabile pentru coloane.
Teoremă 2. Dacă toate elementele unui rând al determinantului sunt înmulțite cu același număr, atunci întregul determinant este înmulțit cu acest număr.
Corolar. Factorul constant al șirului poate fi considerat ca semn al determinantului.
Teorema 3. În cazul în care două locații sunt schimbate în determinant, atunci determinantul va schimba semnul la contrariul.
Corolar 1. Un determinant ale cărui două linii sunt egale este egal cu zero.
Corolar 2. Dacă două rânduri sunt proporționale în determinant, atunci un astfel de determinant este egal cu zero.
Teorema 4. Dacă șirul determinant este reprezentat ca suma algebrică a mai multor termeni, determinantul este egal cu suma algebrică a determinanților în care primul determinant în această linie ar trebui în primul termen, al doilea - al doilea termen, etc.
Corolar. Dacă rândurile determinantului sunt dependente liniar. atunci un astfel de determinant este zero.
Teorema 5. Dacă adăugăm la elementele unui rând al determinantului elementele corespunzătoare ale celeilalte, înmulțite cu același număr, determinantul nu se schimbă.
9) Minori și complecși algebrici.
Să se dea o matrice dreptunghiulară A de mărime.
Definiție 1. O minuscă a ordinii k a matricei date, unde k min (m; n), este numită determinant al ordinului k. obținut din matricea A prin ștergerea rândurilor (m-k) și a coloanelor (n-k).
DEFINIȚIE 2. Un minor Mij suplimentar la elementul Aij este determinantul unei matrice pătrat (n-1) ordinea obținută din matricea A prin eliminarea acestui element, împreună cu rândul și coloana în care se află.
Definiția 3. Un complement algebric Aij la un element aij al matricei pătrate este numărul Aij =.
Teorema 1. Factorul determinant este egal cu suma perechilor de produse ale elementelor din orice rând prin complementarile lor algebrice.
- Extinderea determinantului în rândul i.
Teorema 2. Suma produselor pereche a elementelor din orice rând al determinantului prin complemente algebrice la elementele corespunzătoare ale celuilalt rând este egală cu zero.
Calculul determinanților ordinii n> 3 este redus la calculul determinanților ordinii a doua și a treia cu ajutorul Teoremei 1 și a proprietății 5 a determinantului.
Înainte de a descompune determinantul pentru comoditate, se obține una dintre coloanele zero. Aceasta reduce cantitatea de calcul. Pentru a face acest lucru, utilizați a cincea proprietate a determinantului. Una dintre rânduri este înmulțită cu unele numere și adăugată la celelalte rânduri.
10) Matricea inversă. Unicitatea.
Definiție 1. Se consideră că o matrice pătrată este degenerată dacă determinantul ei este zero și o matrice non-degenerată altfel.
Definiția 2. O matrice A -1 se numește inversă la o matrice pătrată a ordinului Λn dacă A · A -1 = A -1 · A = E.
Teorema 1. Pentru orice matrice pătrată nondegenerată există o matrice inversă unică.
Dovada. 1 parte (unicitate).
Să presupunem că există matricea inversă. Să dovedim că este unică. Să presupunem contrariul, adică există două matrice inverse: A -1 și.
Apoi A · A -1 = A -1 · A = E și A · = · A = E.
Înmulțiți-o în stânga cu.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: