Acasă | Despre noi | feedback-ul
Teoremele lui Rolle, Lagrange, Cauchy
Continuăm să studiem proprietățile funcțiilor diferențiate. Mai întâi am studiat teorema lui Fermat, esența căreia, la punctul extrem, derivatul funcției fie nu există, fie este egal cu 0.
THEOREM 1. (Teorema lui Rolle) Fie funcția continuă într-un interval. are un derivat pe interval și cu asta. Apoi este un punct. în care condiția este îndeplinită.
Dovada. Funcția este continuă pe segment și, prin urmare, atinge cele mai mari și mai mici valori pe acest segment. Dacă aceste valori sunt aceleași, atunci funcția este egală cu o constantă, iar derivatul său este 0 în fiecare punct al intervalului. Dacă cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției nu coincid, atunci cel puțin una dintre ele nu coincide cu valoarea funcției la limitele segmentului. Să presupunem că valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un segment este atinsă într-un punct. Apoi, acest punct este un punct extremum și în acest punct de către teorema Fermat derivatul este 0. Teorema este dovedită.
Teorema 2. (Teorema lui Lagrange) Fie functia sa fie continua intr-un interval si are un derivat pe interval. Apoi este un punct. în care condiția este îndeplinită. (1)
Formula (1) se numește formula Lagrange. Uneori este scrisă în formă și se numește formula de creșteri finite ale lui Lagrange.
Teorema 3. (Teorema lui Cauchy) Fie funcțiile u continuă într-un interval. au derivate. la interval și la acest moment. Apoi este un punct. în care condiția (2) este îndeplinită.
Formula (2) este numită formula Cauchy.
Dovada. Observăm că teorema Lagrange este un caz particular al teoremei lui Cauchy dacă luăm o funcție ca o funcție. Pentru a demonstra teorema Cauchy, considerăm o funcție auxiliară. Rețineți că funcția este continuă pe interval și are un derivat pe interval. în același timp. Astfel, toate condițiile din teorema lui Rolle sunt satisfăcute pentru această funcție. Prin urmare, există un punct. în care condiția este îndeplinită. În consecință ,. care este echivalent cu condiția (2). Teoremele Cauchy și Lagrange sunt dovedite.
Ce trebuie să faceți atunci când se calculează limita unei funcții. Dacă funcția este continuă, atunci pur și simplu înlocuim valoarea limită. Cazurile în care este imposibil să se substituie valorile limită pentru calcul se numesc incertitudini. La calcularea limitei formularului, este posibilă o situație în care atât limita numărător cât și limita numitorului sunt egale cu 0. Este clar că în acest caz este imposibil să se aplice teorema că limita coeficientului este egală cu coeficientul limitelor. Această situație se numește incertitudinea speciei. Dacă numitorul și numitorul au tendința de infinit, atunci aceasta este incertitudinea speciei. Există și alte tipuri de incertitudini, de exemplu. . . Regimul "L'Hospital" este aplicabil numai pentru indeterminatele formularului și. Alte tipuri de incertitudini pot fi transformate în incertitudinile acestor specii.
Teorema 4. (Teorema lui L'Hospital) Fie funcțiile u definite, continue și diferențiate în anumite circumstanțe ale unui punct. cu posibila excepție a punctului în sine. limita este incertitudinea speciei. Apoi. (3) dacă limita există.
Dovada. Deoarece și. atunci funcțiile u pot fi definite de condiții. Astfel, funcțiile predefinite devin continue pe segmentul care unește punctele și. Prin urmare, teorema Cauchy este aplicabilă relației și, prin urmare, există un punct. culcat pe acest interval astfel încât. De aici rezultă afirmația teoremei.
Exemplul 1. Calculați limita.
Soluția. Deoarece aceasta este o incertitudine a speciilor. atunci este legitim să se aplice regula de spitalizare. În consecință ,. Răspuns. -8.
Observăm că o cantitate infinit de mare este înțeleasă ca fiind cantitatea a cărei inversă este valoarea lui b. m. De aceea este ușor să arătăm că la relația b. b. De asemenea, se aplică norma L'Hospital.
Regula domnului L'spital. Limita raportului dintre cantitățile infinitezimale sau infinit de mari este limita la raportul derivatelor, dacă există limita raportului dintre derivate.
Exemplul 2. Calculați limita.
Soluția. Deoarece aceasta este o incertitudine a speciilor. atunci este legitim să se aplice regula de spitalizare. În consecință ,. Răspuns. 0.
După cum am arătat deja, nevoia de aproximare a unei funcții complicate prin funcții mai simple a reprezentat o pârghie a creării teoriei calculului diferențial în secolele al XVII-lea și al XVIII-lea. Ca astfel de funcții simple, matematicianul englez Brooke Taylor (1685-1731) a început să folosească polinoame.
Luați în considerare polinomul gradului. definite de parametrii :. Lăsați o funcție să fie dată. având derivate la un punct. Luați în considerare numerele :. . . .... Ei determină în mod unic un polinom Taylor de grad maxim. care posedă proprietatea. , ...,:
Polinomul Taylor (4) și derivații săi coincid în punctul cu funcția și derivații săi. Este rezonabil să presupunem că polinomul Taylor (4) aproximează o funcție în vecinătatea unui punct. Acest fapt este reflectat de formula
care se numește formula Taylor. Cu formula Taylor (5) ia forma (6) și se numește formula Maclaurin.
Rețineți că formula lui Taylor (5) nu are nevoie de dovadă, singura întrebare este aceea de a estima valoarea unei anumite funcții. care se numește restul termenului în formula Taylor. Aplicarea formulei Taylor este rezonabilă în cazul în care restul termen este o cantitate mică și tinde la 0 pentru. Pentru a aplica direct formula Taylor, este necesar să se calculeze derivatul funcției într-un punct.
Exemplul 3. Scrieți formula lui Taylor pentru o funcție într-un punct (formula Maclaurin pentru o funcție).
Soluția. Deoarece funcția coincide cu toate derivatele sale, condiția este îndeplinită și formula (6) ia forma. (7)
Exemplul 4. Scrieți formula lui Taylor pentru o funcție într-un punct (formula Maclaurin pentru o funcție).
Soluția. În cazul în care. atunci. . . și apoi se repetă funcțiile derivate. Valorile sinusului și derivatele sale la punctul 0 sunt, respectiv, egale cu numerele: 0, 1, 0, -1, 0, etc. Aceasta poate fi scrisă sub forma formulelor :. . . În consecință, formula dorită ia forma. (8)
Exemplul 5 Scrieți formula lui Taylor pentru o funcție într-un punct (formula Maclaurin pentru o funcție).
Soluția. În cazul în care. atunci. . . și apoi se repetă funcțiile derivate. Valorile cosinusului și ale derivatelor sale la punctul 0 sunt egale cu numerele 1, 0, -1, 0, 1, etc., care se pot scrie sub forma formulelor :. . . În consecință, formula dorită ia forma. (9)
Rețineți că formula (9) poate fi obținută din formula (8) prin diferențierea laturilor sale stânga și dreaptă. Și asta nu este accidental. Nu este necesar să se calculeze toate derivatele funcției examinate de fiecare dată.
Exemplul 6. Scrieți formula lui Taylor pentru o funcție într-un punct (formula Maclaurin pentru o funcție).
Soluția. Formula dorită este obținută prin înlocuirea argumentului cu argumentul din (7). Având în vedere acest lucru. ajungem la formula dorită. (10)
Comparând formulele (7), (8), (9), (10), ajungem la formula Euler. (11) care a fost menționat în prelegerea 1. Formula Euler va fi complet dovedită atunci când se va stabili că în formulele (7), (8), (9), restul termenilor tinde la 0 cu creșterea pentru toate valorile argumentului.
Exemplul 7. Scrieți formula lui Taylor pentru o funcție într-un punct (formula Maclaurin pentru o funcție).
Soluția. În cazul în care. atunci. . . . ..., (). În consecință, formula dorită ia forma. (12)
Estimarea termenului rămas în formula Taylor
O parte integrantă a utilizării formulei lui Taylor este evaluarea termenului său rezidual. Formule frumoase și practice au apărut în lucrările matematicienilor remarcabili 18, 19 și da în cele 20 de secole. Observăm câteva rezultate fără probe.
Teorema 5. (Teorema lui Lagrange) Fie ca o functie sa aiba un derivat de ordinul I in unele cartiere dintr-un punct. Apoi pentru un punct arbitrar în acest cartier există un punct. Acesta aparține intervalului care unește punctele și. Această proprietate are proprietatea că relația se află în (5). (13)
THEOREM 6. (Teorema lui Cauchy) Fie ca o funcție să aibă un derivat de ordinul întâi într-un anumit punct al unui punct. Apoi pentru un punct arbitrar în acest cartier există un punct. Acesta aparține intervalului care unește punctele și. Această proprietate are proprietatea că relația se află în (5). (14)
Teorema 5. (Teorema lui Peano) Fie ca o funcție să aibă un derivat de ordinul întâi într-un anumit punct al unui punct. Atunci relația se află în (5). (15)
Trimiteți-le prietenilor: