IІ. CURVE SPATIALE
(prelegeri № 3, 4, 5, exerciții practice № 2, 3, contracte de lucru 20 de minute)
1) Conceptul unei curbe în spațiu. Setarea curbei parametrice.
2) Ecuațiile tangentei în cazul unei specificații parametrice a unei curbe și în cazul specificării unei curbe ca intersecție a două suprafețe.
3) Lungimea arcului curbei. Parametrul natural al curbei.
4) Definiția 2.1 (Cercul, raza și centrul curburii, curbură)
5) Definiția 2.2 (principala normală și formula pentru constatarea acesteia).
6) Definiția 2.3 (binormal și formula pentru găsirea acesteia).
7) Definiția 2.4 (planurile triedronului însoțitor).
8) Formule frenet. Torsiunea.
9) Definiția 2.5 (evolute). Ecuația evoluează.
10) Definiția 2.6 (involuntare).
2.1 CEREREA PENTRU LINIA ÎN SPAȚIU.
Printr-o curbă în spațiu înțelegem un set de puncte în spațiu, definit ca o imagine continuă a unui anumit interval al axei numerice.
Curba poate fi specificată parametric:
sau ca o hographografie a unei funcții vectoriale.
2.2 CURVA ACTUALĂ.
O curbă se numește diferențiată, continuu diferențiată, de două ori diferențiată și așa mai departe. dacă, respectiv, funcțiile de coordonate din (2.1) sunt diferențiate, continuu diferențiate, de două ori diferențiate și așa mai departe.
Fie Γ o curbă diferențiabilă definită ca hograma funcției vectoriale; și apoi linia care este tangenta la hograma funcției vector-vector la sfârșitul vectorului de rază. se numește tangentă la curba F. Deoarece în termeni de semnificație geometrică este vectorul tangent de direcție, ecuațiile tangentei la punctul M0 (x0, y0, z0) pot fi scrise sub forma:
Dacă curba este dată de ecuații
(aici rolul parametrului este jucat de variabile), ecuațiile tangentei au forma:
Formăm ecuația tangentei la curba dată ca intersecția a două suprafețe date de ecuații sub formă implicită
Diferențiând aceste identități, obținem
Din aceasta vedem că vectorul tangent este perpendicular pe fiecare dintre vectori. și anume collinear cu produsul lor vectorial
Dacă pe curbă este indicată o direcție pozitivă corespunzătoare unei creșteri a parametrului t, atunci vectorul este numit vector tangent al curbei orientate.
Unghiul dintre curbele orientate care se intersectează la un anumit punct este unghiul dintre tangentele lor în acest punct.
Exemplul 2. 1Scrieți ecuațiile tangentei la helix: la un punct arbitrar t și pentru.
Soluția. De atunci, ecuația tangentei la un punct arbitrar în conformitate cu punctul 2.2 va avea forma
În special, atunci când:
Soluția. Curba Viviani este linia de intersecție a suprafețelor unei sfere centrate la originea coordonatelor și un cilindru circular cu o centrală (generatrix) deplasată de-a lungul axei (în acest caz) Ox cu o cantitate egală cu raza cilindrului. Diametrul cilindrului este egal cu raza sferei.
Noi scriem ecuațiile suprafețelor într-o formă implicită
Apoi, conform (2.2), ecuațiile tangentei la un punct arbitrar al liniei vor avea forma
2.3 Lungimea curbei. NATURAL PARAMETRU DE BERE.
Luați în considerare un arc cu o curbă continuă diferențiată
În secțiunea "Integratul definitiv", am obținut o formulă pentru găsirea lungimii arcului unei curbe:
Cu o limită superioară variabilă, lungimea arcului va fi variabilă:
Dacă parametrul t al curbei este lungimea variabilă a arcurilor. atunci coordonatele punctului M al curbei vor depinde de lungimea arcului s = AM: x = x (s), y = y (s), z = z (s) (parametrizare naturala). și anume vectorul va fi vectorul unitar al tangentei la curbă.
Pentru fiecare curbă continuă diferențiată fără puncte singulare există reprezentarea ei. în care lungimea de arc variabilă a acestei curbe este luată ca parametri, adică parametrizarea naturală.
Exemplu 2.3 Găsiți lungimea arcului (arcilor) al helixului
Soluția. Vectorul tangent al helixului este. atunci
Exemplul 2.4 Notați parametrizarea efectivă a helixului.
Soluția. (T), y (t), z (t), obținem ecuația de helix în parametrizarea naturală (naturală):
Descărcați din depozit
Trimiteți-le prietenilor: