Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe direcția dată
Planul care trece prin punctul dat M0 (x0, y0, z0) perpendicular pe direcția dată este locusul punctelor capetelor vectorilor având originea M0 și perpendicular pe vector. Fie M (x, y, z) un punct arbitrar al planului. În acest caz
Folosind starea perpendicularitate a doi vectori, obținem sau A · (x - x0) + B · (y - y0) + C · (z - z0) = 0. Extinderea paranteze și aducerea acestora obținem A · x + B · y + C · Z + D = 0 unde D = - A · x0 - B · y0 - C · z0.
Astfel, A · x + B · y + C · z + D = 0 este ecuația generală a planului. Din ecuația planului și afirmația problemei, semnificația geometrică a coeficienților A, B, C este coordonatele vectorului perpendicular pe plan.
Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date
Ecuația unui plan în segmente pe axe
Fie planul intersecta axele de coordonate la (a, 0, 0) (0, b. 0) (0,0, c). Pentru a deriva ecuația, vom folosi ecuația unui avion care trece prin trei puncte date :. Extinzând determinantul, obținem (x - a) · b · c - y · (-a · c) + z · (a · b) = 0 sau x · b · c + y · a · c + z · a · b = a · b · c.
În cele din urmă, obținem ecuația planului în formă. EXEMPLU EXEMPLU. Dați ecuația generală a planului 3 · x-2 · y + 5 · z-15 = 0 la forma din segmentele de pe axe.
Remix - 15 în partea dreaptă și terminați termenul pe termen în părțile din dreapta și din stânga ale ecuației date a planului 3 · x-2 · y + 5 · z = 15, ↔ ↔.
Unghi între planurile intersectate
Să presupunem că două avioane A1 · x + B1 · y + C1 · z + D1 = 0 și A2 · x + B2 · y + C2 · z + D2 = 0. Dacă acestea se suprapun, unghiul dintre planurile definite ca unghiul dintre vectorii normali aceste avioane. Unghiul dintre două vectori normali este determinat prin produsul scalar în formă de coordonate. , unde u sunt vectorii normali ai avioanelor.
Liniile de-a lungul cărora planul intersectează planurile de coordonate se numesc urme. Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii normali ai acestor planuri sunt de asemenea paralele. Pentru vectorii normali ai planelor N1 și N2, condiția de colinearitate este îndeplinită (coordonatele vectorilor sunt proporționale): Aceasta va fi condiția pentru paralelismul celor două planuri.
Dacă planurile sunt perpendiculare, atunci vectorii normali ai planelor sunt perpendiculari. Cu condiția perpendicularității vectorilor în formă de coordonate, obținem condiția de perpendicularitate a planurilor A1 · A2 + B1 · B2 + C1 · C2 = 0.
Cazuri particulare ale aranjamentului de avioane în spațiu
- 1. A · x + B · y + D = 0 este ecuația planului paralel cu axa oz. Pe planul de coordonate XY, ecuația planului reprezintă ecuația traseului său.
- A · x + C · z + D = 0 este ecuația planului paralel cu axa OY. Pe planul de coordonate OXZ, ecuația planului reprezintă ecuația traseului său.
- B · y + C · z + D = 0 - planul este paralel cu axa OX. Pe planul de coordonate, OYZ reprezintă ecuația traseului său.
- A · x + B · y + C · z = 0 - planul trece prin origine; x = 0, y = 0, z = 0 satisface ecuația planului și toate urmele planului trec prin origine.
Distanta de la punct la avion
Să presupunem că sunt date planul A · x + B · y + C · z + D = 0 și punctul M0 (x0, y0, z0). Deoarece punctul M0 (x0, y0, z0) nu se află în plan, atunci A · x0 + B · y0 + C · z0 + D = # 945; ≠ 0. Alegem un punct arbitrar M (x, y, z) pe plan. În acest caz, avem de A · x + B · y + C · z + D = 0. Scăzând doilea din prima relație, obținem o · (x - x0) + B · (y - y0) + C · (z - z0) = # 945;. Ultima relație este produsul scalar al vectorului normal al planului și vectorul M0 M în formă de coordonate. Prin definirea unui produs scalar, avem și noi una. Sau în cele din urmă
Rezolvarea problemelor pe planul în spațiu din pachetul MAPLE
> restart: cu (geom3d): punct (M0, -6,5,5): punct (M1, -2,0, -4), punct (M2, -1,7,1) , -8, -4): plan (p, [M1, M2, M3]): Ecuația (p, [x, y, z]); # 150; ecuația unui plan care trece prin trei puncte date> distanța (M0, p); # 150; distanța dintr-un punct într-un plan> punctul (A, 0,0,0): n: = Vector ([0,4, -3]); plan (p, [A, n]); Ecuația (p, [x, y, z]); # 150; ecuația unui plan care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe direcția dată. 4y - 3z = 0
Întrebări pentru auto-examinare
- Care este ecuația generală a unui plan în spațiu?
- Ce fel de ecuație generală are planul paralel cu axa Ox?
- Ce fel de ecuație generală are planul paralel cu axa Oy?
- Ce fel de ecuație generală are planul paralel cu axa Oz?
- Care este particularitatea ecuației unui plan care trece prin origine?
- Care este urmă a avionului?
- Cum se construiește o linie de intersecție a două avioane în spațiu?
- Cum să găsiți coordonatele unui vector perpendicular pe planul din ecuația planului?
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: