Soluția problemei Cauchy pentru un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi
Un sistem normal de n ecuații diferențiale de ordinul întâi cu funcții necunoscute este un sistem:
Printr-o soluție a sistemului (1) pe interval (a, b) este o colecție de funcții n. continuu diferențiate pe (a, b) și transformând ecuațiile sistemului (1) în identități sub substituirea lor. Problema Cauchy pentru sistem (1) este formulată după cum urmează: găsiți o soluție a acestui sistem care să satisfacă condițiile inițiale
unde sunt numerele date. Pentru un sistem normal DW (1), există teorema existenței și unicității pentru rezolvarea problemei Cauchy. Soluția problemei Cauchy este o soluție particulară a unui SDE normal.
Se scrie sistemul (1) într-o formă vectorală, pentru care introducem funcții vectoriale: vectorul este o coloană cu o funcție necunoscută. derivatul său și coloana vectorială a funcției părții drepte a sistemului (1).
Folosind notația introdusă, problema Cauchy pentru sistem (1) este scrisă sub forma:
După cum vedem, notația vectorială (3) a problemei Cauchy pentru o SDE de prim ordin are aceeași formă ca și pentru DU de prim ordin. În cazul unui CDE, în loc de funcții, avem funcții vectoriale. respectiv. Metodele lui Euler, Runge-Kutta pentru primul ordin DM pot fi extinse formal la o SDE de prim ordin, coeficienții în acest caz vor fi și vectori. De exemplu, notația vectorială a metodei Runge-Kutta de ordinul doi pentru sistemul (3) are forma:
Mai jos vom examina metodele pentru un exemplu specific.
Reducerea ecuatiei diferentiale a ordinii n la sistemul normal de DW de ordinul I.
Considerăm problema Cauchy pentru o ecuație diferențială n-ordin:
Dacă ecuația (7) este solvabilă în raport cu cel mai mare derivat. și anume poate fi reprezentat în formă, atunci poate fi redus la un sistem normal de n ecuații diferențiale. Să punem:
Ecuația (7) are apoi forma:
Astfel, ecuația noastră a fost redusă la sistemul normal SDE:
Condițiile inițiale (8) au următoarea formă:
Luați în considerare aceste metode pentru un exemplu.
Rezolvăm problema Cauchy pentru ecuația de ordinul doi prin metode numerice. Ne amintim că obținem o soluție sub forma unei funcții de rețea, adică obținem valorile soluției pe o anumită rețea de noduri.
Considerăm problema Cauchy pentru ecuația:
Soluția exactă a problemei Cauchy pentru ecuație are forma:
Să găsim valoarea soluției exacte pe o rețea specifică de noduri:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: