va fi stabil, altfel intrăm în zona de instabilitate, plină de surprize. În special, când
, (Fig.3) există oscilații periodice
imaginea devine mai complicată și apar dublu-oscilații periodice (figura 2), cu o creștere suplimentară a ratei de creștere relativă, obținem o perioadă cvadruplu, etc. în cazul
sunt observate oscilații haotice (figura 3).
Astfel, formulele iterative neliniare de tipul (2) ascund multe secrete, iar pentru descoperirea lor sunt necesare studii suplimentare în fiecare caz particular. Mai mult decât atât, nu este întotdeauna posibilă evaluarea convergenței procesului iterativ la nivel global.
Acest exemplu, deși este un caz special cu formula (2), conduce la reflecții utile. Formula de iterație de mai sus (25) a fost construită prima pentru a studia dinamica populațiilor de specii ale unei anumite specii, în funcție de distrugerea domeniului alimentar de către Ferhulst și poartă numele său.
Vedem că același model matematic poate conține diferite aspecte ale aplicațiilor, care este destul de tipic pentru spiritul de matematică aplicată.
3. Metode de rezolvare a ecuațiilor algebrice
Majoritatea problemelor din fizică, economie, sociologie, biologie și alte domenii ale cunoașterii conduc la rezolvarea unor ecuații algebrice sau a unor sisteme de ecuații.
În ciuda existenței unui număr de metode aproximative, în prezent, probabil, nu există o abordare generală pentru rezolvarea nici unei ecuații neliniare și, cu atât mai mult, un sistem neliniar de ecuații. Prin urmare, în fiecare caz particular este necesar să se studieze ecuațiile și să se construiască algoritmi corespunzători prin combinarea ideilor diferitelor metode numerice. Deci, soluția ecuației neliniare, în prezent, este mai mult o artă decât o știință. Cu toate acestea, produsele software cunoscute ale firmelor moderne permit, în multe cazuri, simplificarea căutării rădăcinilor.
Să prezentăm principalele metode cunoscute și cele mai populare. Mai întâi de toate, observăm că în găsirea valorilor aproximative ale rădăcinilor trebuie să rezolvăm două probleme:
a) separarea rădăcinilor, adică găsirea de zone suficient de mici în fiecare dintre care există o rădăcină;
b) calculul rădăcinilor cu o precizie dată.
3.1 Metoda de divizare a unui segment pe jumătate (metoda dihotomiei)
Înainte de rezolvarea ecuației
trebuie să alocăm un interval de soluție pentru căutarea
, și anume răspundeți la întrebarea a) din secțiunea anterioară. Pentru a face acest lucru, vom folosi teorema lui Weierstrass.
Teorema Weierstrass: Dacă la sfârșitul unui interval funcția continuă
ia valori de semne diferite, apoi pe această ecuație de interval (36) are cel puțin o rădăcină.
Această teoremă exprimă un fapt evident din punct de vedere geometric (figura 4), care constă în faptul că, dacă la puncte
Graficul grafului unei funcții continue este în
diferite semi-planuri de pe axă
, atunci există un punct
, astfel încât graficul acestei funcții să se intersecteze cu axa
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: