Înregistrarea ecuațiilor diferențiale în forma normală de Cauchy.
Dacă se ia în considerare multe probleme, este convenabil ca ecuațiile sistemelor unidimensionale și multidimensionale să fie scrise sub forma unui sistem normal. Un sistem normal sau un sistem în formă normală se numește un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi care sunt rezolvate cu privire la derivate. În special, un sistem normal de ecuații diferențiale liniare este un sistem
În forma matrică, este scrisă ca
Matricele-coloane sunt, de asemenea, numite vectori. Un vector x este numit vector de fază sau vector de stare și coordonatele acestuia sunt coordonate de fază. Vector și numit de control vectorial, sau pur și simplu de control și coordonatele sale - Parametri de control: un vector numit un vector de perturbație sau doar indignare, și sa coordoneze - tulburări sau efect deranjant.
În plus față de ecuația neomogenă (2.74), considerăm ecuația omogenă
Lăsați-o să formeze soluții liniar independente ale acestei ecuații. Orice astfel de sistem este numit un sistem fundamental de soluții de ecuație (2.75). Formăm matricea, presupunând ca coloană soluția din sistemul fundamental:
Această matrice se numește matricea fundamentală a ecuațiilor (2.73) - (2.75). Dacă matricea fundamentală se transformă într-o matrice unitară, atunci se numește normalizată. Folosind o matrice arbitrară fundamentală $ (0) normalizată (o desemnează cu
Folosind matricea fundamentală normalizată, soluția ecuației neomogene (2.74) pentru toate t poate fi reprezentată ca relație
care se numește formula Cauchy. În validitatea acestei formule, este ușor de verificat prin înlocuirea directă în (2.74), folosind ecuația matricei
valabil în toate Ecuația rezultă din faptul că fiecare coloană a matricei fundamentale este o soluție de (2,75).
Observăm o serie de proprietăți fundamentale ale matricei fundamentale normalizate. Folosind (2.76), pentru orice u, obținem cu ușurință următoarele egalități:
Dacă matricea A este constantă, atunci matricea fundamentală depinde numai de diferența k care are forma. Funcția de matrice este numită matricea exponențială sau matricea exponențială și este determinată de suma seriei
Luați în considerare ecuația conjugată la (2.75) :. Dacă matricea fundamentală normalizată a acestei ecuații, adică,
atunci formula Cauchy poate fi reprezentată în formă
Într-adevăr, diferențierea identității pe care o obținem
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: