Evaluare: 5/5
Literatură: Colectarea problemelor în matematică. Partea 1. Editat de AV Efimov, BP Demidovich.
O matrice pătrată $ A $ se spune a fi simetrică dacă $ A ^ T = A. $ A se spune că o matrice pătrată $ B $ este simetrică înclinată dacă $ B ^ T = -B. $
O matrice pătrată A $ numită degenerate $ (special). dacă determinantul său este zero și altfel nu este generat (nonsingular). Dacă $ A $ - matrice non-singular, atunci există o unică matrice $ A ^ $, astfel încât $ AA ^ = A ^ A = E, $ unde $ E $ matrice de identitate (de exemplu, astfel încât unitatea diagonală principală , iar toate celelalte elemente sunt zero). Matricea $ A ^ $ se numește inversa matricei A. $ $
Metode de bază pentru calculul matricei inverse:
Metoda matricei atașate. Matricea adjointă $ A ^ * $ este definită ca fiind transpusă într-o matrice compusă din complemente algebrice ale elementelor corespondente ale matricei $ A. Astfel,
$ A ^ * A = AA ^ * = \ det A \ cdot E. $
Rezultă că dacă $ A- $ este o matrice non-degenerată, atunci
Prin metoda matricei adiacente, găsiți inversul pentru următoarele matrici:
$ \ det A = \ început12 \\ 34 \ end = 1 \ cdot 4-2 \ cdot 3 = 4-6 = -2 \ neq 0. $
Deoarece determinantul nu este zero, această matrice nu este degenerată și există matricea inversă.
Gasim complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei $ A: $
Prin urmare, găsim matricea adjoint:
$ \ Det A = \ begin257 \\ 634 \\ 5-2-3 \ end = 2 \ cdot 3 \ cdot (-3) +6 \ cdot (-2) \ cdot 7 + 5 \ cdot 4 \ cdot 5- $ 5 $ = \ cdot3 \ cdot7-2 \ cdot (-2) \ cdot4-5 \ cdot 6 \ cdot (-3) = - 18-84 + 100-105 + 16 + $ 90 = $ = - 1 \ neq $ cu 0
Deoarece determinantul nu este zero, această matrice nu este degenerată și există matricea inversă.
Gasim complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei $ A: $
În numărul 3.106 am găsit $ \ begin12 \\ 34 \ end ^: $Metoda transformărilor elementare. Transformările elementare ale matricei sunt următoarele:
1) rearanjarea rândurilor (coloanelor);
2) multiplicarea unui rând (coloană) cu un număr diferit de zero;
3) adăugarea la elementele rândului (coloanei) a elementelor corespunzătoare unui alt rând (coloană), înmulțit anterior cu un anumit număr.
Pentru o anumită matrice $ A $ $ $ n th ordine construi o $ matrice dreptunghiular \ Gamma_A = (A | E) $ dimensiune $ n \ ori $ 2n, atribuind dreapta matricea identitate de $ A $. Mai mult, folosind transformările elementare peste rânduri da matrice $ \ Gamma_A $ pentru a forma $ (E | B), $ este întotdeauna posibil, dacă $ A $ este non-degenerate. Apoi, $ B = A ^. $
3.115. Folosind metoda transformărilor elementare, găsiți inversul pentru următoarea matrice:
Formăm matricea $ \ Gamma_A: $
Notând $ \ gamma_1, \ gamma_2, \ gamma_3 $ rânduri de $ \ Gamma_A, $ le efectuați următoarele transformări: $ \ gamma_1 '= \ gamma_1, $ $ \ gamma_2' = \ gamma_2-2 \ gamma_1, $ $ \ gamma_3 „= \ gamma_3-2 \ gamma_1 $
$ \ Gamma_1 '' = \ gamma_1 '$ $ \ gamma_2' '= \ gamma_2'-2 \ gamma_3', $ $ \ gamma_3 ''= \ gamma_3'-2 \ gamma_2' $
$ \ Gamma_1 '' '= \ gamma_1' '- \ frac \ gamma_2' '- \ frac \ gamma_3' '$ $ \ gamma_2' ''= \ frac \ gamma_2 '', $ $ \ gamma_3 ''' = \ frac \ gamma_3 '' $
Obținem $ \ left (\ begin 122 \\ 21-2 \\ 2-21 \ end \ left \\ begin100 \\ 010 \\ 001 \ end \ right \ \ 0-3-6 \\ 0-6-3 \ end \ left \ \ begin100 \\ - 210 \\ - 201 \ end \ right \ \ dreapta] \ sim $
O matrice ortogonală este o matrice pentru care $ A ^ = A ^ T. $
3.105. Dovedeste ca orice matrice $ A $ poate fi reprezentata, si in acest caz unic, in forma $ A = B + C, $ unde $ B- $ este simetrica si $ C- $ este oblic-simetrica.
Prin metoda matricei adiacente, găsiți inversul pentru următoarele matrici:
Trimiteți-le prietenilor: