Ecuațiile exponențiale și sistemele lor

Ecuațiile exponențiale sunt ecuații care conțin necunoscutul în exponent.

O ecuație cu forma: \ (a ^ x = b, unde \ a> 0, a ≠ 1 \)

se numește cea mai simplă ecuație exponențială.







Metode de rezolvare a ecuațiilor exponențiale

  1. Ca urmare a transformărilor, ecuația poate fi redusă la forma: \ (a ^ = a ^ c \). Apoi aplicăm proprietatea: \ (a ^ = a ^ c \ Rightarrow f (x) = c \).
  2. La primirea ecuațiilor de forma \ (a ^ = b \) determinarea logaritmului folosit, obținem: \ (f (x) = \ log_a b \).
  3. Ca urmare a transformărilor, putem obține o ecuație cu forma: \ (a ^ = b ^ \). Logaritmul este folosit: \ (\ log_ca ^ = \ log_cb ^ \). Apoi, aplicăm proprietatea logaritmului gradului: \ (f (x) \ cdot \ log_ca = g (x) \ cdot \ log_cb \). Exprimăm și găsim \ (x \).

Exemplul 1. Soluiți ecuația: \ (3 ^ + 3 ^ x - 3 ^ = 35).

Soluție: Metoda de rezolvare a ecuațiilor de acest tip este de a lua gradul cu cele mai mici indici dincolo de paranteze. În acest caz, luăm parantezele \ (3 ^ \). \ (3 ^ (3 ^ 3 + 3 ^ 2 - 1) = 35 \ Rightarrow 3 ^ 35 = 35 \ Rightarrow 3 ^ = 1 \).







Se scrie ultima ecuație ca \ (3 ^ = 3 ^ 0) și, având în vedere monotonicitatea funcției exponențiale, concluzionăm că \ (x-2 = 0 \ rightarrow x = 2 \).

Exemplul 2. Rezolvarea ecuației: \ (4 ^ - 2 ^ - 8 = 0 \).

Soluție: Rescriem ecuația după cum urmează: \ (2 ^ - 2 \ cdot 2 ^ - 8 = 0 \). Introducerea substituției \ (t = 2 ^ x \). obținem o ecuație patratică în raport cu \ (t \). \ (t> 2-2t-8 = 0 \). Ne găsim rădăcinile: \ (t_1 = 4, t_2 = -2 \). Rămâne să faceți o înlocuire inversă. Ecuația \ (2 ^ x = 4 \) are o rădăcină unică \ (x = 2 \). Ecuația \ (2 ^ x = -2 \) nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială \ (y = 2 ^ x \) nu poate lua valori negative.

Sistemele de ecuații constând din ecuații exponențiale sunt numite un sistem de ecuații exponențiale.

Exemplul 3. Rezolvați sistemul de ecuații \ (\ begin 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\ end \).

Soluție: Acest sistem este echivalent cu sistemul \ (\ begin 2 \ cdot 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\\ end \). Să presupunem că \ (2 ^ x = u \ (u> 0), 3 ^ y = v \ (v> 0) \). atunci vom obține: \ (\ begin 2u-v = -1 \\ v-u = 2 \\ \ end \). Să rezolvăm sistemul obținut prin metoda de adăugare. Adăugăm ecuațiile: \ (2u-v + v-u = -1 + 2 \ Rightarrow u = 1 \). Apoi, din a doua ecuație obținem că \ (v = 2 + u = 2 + 1 = 3 \). Vom trece la permutarea invers: \ (\ begin 2 ^ x = 1 3 \\ ^ y = 3 \\ \ end \ rightarrow \ începe x = 0 \\ y = 1 \\ \ end \).







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: