UNIVERSITATEA DE STUDIU BELARUSIAN DE INFORMATICĂ ȘI RADIO ELECTRONICĂ
Departamentul de Grafică Inginerie
"Îndoirea tijei rectilinii"
Concepte generale de deformare în îndoire
Curbarea este cauzat (Fig. 1, a) prin forțe externe îndreptate perpendicular pe axa longitudinală a tijei, și perechile de forțe externe, planul de acțiune al care trece prin această axă. Când acționează sarcina, axa longitudinală a tijei este îndoită. În secțiunile transversale ale tijei în timpul momentelor de încovoiere apar forțe plan de acțiune internă, care este perpendicular pe planul secțiunii transversale, adică îndoire momente Mie.
Dacă momentul de încovoiere din secțiunea transversală este singura componentă a forțelor interne, curba este numită pură.
Îndoirea se numește transversală, dacă forțele transversale Q apar în secțiunile transversale împreună cu momentul de încovoiere Mi. Îndoirea transversală are loc în condiții de încărcare efective mai des decât îndoirea pură.
Dacă planul de acțiune al momentului de încovoiere Mi trece prin centrul de masă al secțiunii transversale, adică prin orice axă centrală a secțiunii, curba este numită simplu sau plat. în caz contrar, curba este numită oblică. Cu o îndoire plană, axa longitudinală a tijei rămâne deformată în planul forțelor exterioare, adică reprezintă o linie curbată plat. În cazul îndoirii oblice, planul deformării nu coincide cu planul forțelor exterioare. Îndoirea oblică se referă la forma deformărilor, numite deformări complexe. Determinarea reacțiilor de susținere a tijelor îndoite
Forțele interne din secțiunile transversale ale barelor încovoiate sunt determinate utilizând metoda secțiunii transversale. Utilizarea ecuațiilor de echilibru este posibilă pentru sistemele de forțe care acționează asupra corpurilor libere. Tijele supuse deformării în încovoiere în condiții reale au în mod necesar unele sau alte suporturi, în absența cărora ar fi imposibilă îndoirea tijei. Prezența suporturilor (legăturilor) limitează mișcarea tijei îndoite și face imposibilă utilizarea ecuațiilor de echilibru pentru a determina forțele interne.
Formal, barele de îndoire care nu sunt libere pot fi considerate libere folosind principiul eliberării obligațiunilor. Potrivit lui, orice corp non-liber poate fi reprezentat drept liber, aruncând constrângerile (suporții) care îl limitează și înlocuind acțiunea lor cu forțele de reacție ale acestor legături. Ecuațiile de echilibru pot fi, de asemenea, utilizate pentru a determina forțele interne în secțiunile transversale ale barelor încovoiate, cu condiția ca, pe lângă forțele exterioare, forțele de reacție ale suporturilor să fie luate în considerare. Prin urmare, înainte de a determina forțele interne în secțiunile transversale ale barelor îndoite, trebuie să puteți găsi magnitudinea și direcția reacțiilor suporturilor. Se știe că reacția conexiunii (suportului) este întotdeauna îndreptată în direcția opusă celei în care conexiunea nu permite corpului să se miște. Dacă comunicarea împiedică mișcarea translațională a corpului, reacția sa este de putere; dacă conexiunea împiedică mișcarea de rotație, reacția sa este momentul forțelor.
Există trei tipuri principale de suporturi pentru îndoire.
Suportul articulat mobil (Figura 2, a) nu împiedică rotirea tijei și mișcarea acesteia de-a lungul suprafeței suport. Reacția suportului trece prin centrul balamalei și este orientată perpendicular pe planul de referință.
Suportul articulat staționat (fig.2, b) permite rotirea tijei și împiedică mișcarea sa de translație în orice direcție. Reacția trece prin centrul balamalei și poate avea direcții diferite în funcție de acțiunea sistemului forțelor exterioare. Se descompune în componente în planul forțelor exterioare direcționate de-a lungul și perpendicular pe axa longitudinală a tijei.
Încărcarea sau prinderea greu (Figura 2, c) nu permite deplasarea liniară sau unghiulară a tijei îndoite. Suportul complet al elementului forță de reacție, care se descompun în două componente dirijate de-a lungul și perpendicular pe axa longitudinală a tijei și a cuplului (cuplul reactiv), care cuprinde suportul de reacție sunt atașate la un punct de ciupire tijă. Tija, prăjită de un capăt și care nu are alte suporturi, se numește consola. Consola este numită și o parte a tijei care iese dincolo de suporturile balamalelor.
Mai mult, prin "înlocuirea" suporților cu forțele reacțiilor lor, ei formează ecuațiile de echilibru pentru sistemul de forțe care acționează asupra tijei îndoite. Ecuațiile de echilibru independent pentru un sistem plan de forțe sunt trei. Problema este determinată static dacă numărul de constituenți necunoscuți ai reacțiilor de susținere nu este mai mare de trei.
Acest lucru este posibil cu următoarele opțiuni pentru fixarea tijelor îndoite: ciupirea tijei cu un capăt (arcuri de contact) sau fixarea tijei cu ajutorul unor suporturi (arbori) mobili și fixați. Cu mai multe componente necunoscute ale reacțiilor, se folosesc alte metode de soluționare care nu sunt luate în considerare în manual.
Dacă valoarea reacției suportului este negativă în calcul. cu un semn minus, direcția reală a reacției va fi opusă celor presupuse. care trebuie luate în considerare la determinarea forțelor interne.
Definim reacțiile în suporturile A și B ale barei îndoite, schema de încărcare (F, Me) și dimensiunile (a, b, # 8467;) care sunt prezentate în Fig. 1, a. Înlocuim suportul mobil B prin reacția RB. și suportul fix al balamalei A - componentele RAX și RAY. Tija "liberă" sub influența forțelor externe și a forțelor de reacție ale suporturilor este în repaus. Absența posibilelor componente ale mișcării planului (mișcarea de translație de-a lungul axelor x și y și mișcarea de rotație în planul de acțiune a forțelor, adică în jurul axei z) a tijei se exprimă prin intermediul ecuațiilor de echilibru:
Pentru sistemul de forțe care acționează, prima dintre ecuațiile (1) ia forma RAX = 0; al doilea: RB - F - RAY = 0 și al treilea: RB # 8467; - F # 903; a - Me = 0. Din ultima ecuație definim că RB = (F # 903; a + Me) / # 8467; În continuare, înlocuiți valoarea RB în a doua ecuație, determinăm că RAY = F - RB = F - (F # 903; a + Me) / # 8467;
Determinarea forțelor interne în timpul îndoirii. Construcția diagramelor forțelor transversale și momentelor de îndoire
În cazul îndoirii transversale plane, următoarele componente ale forțelor interne apar în secțiunile transversale ale tijei: forța transversală Q și momentul de îndoire Mi. Pentru a le determina, utilizați metoda secțiunii.
Forța transversală este direcționată de-a lungul planului secțiunii și acțiunea ei este legată de acțiunea forței de forfecare, adică # 964; = f (Q). Forța transversală în orice secțiune transversală a tijei este numeric egală cu suma algebrică a proeminențelor pe planul secțiunii tuturor forțelor exterioare și reacțiile suporturilor care acționează pe o parte a secțiunii. În secțiune este considerată pozitivă (figura 3, a) dacă rezultatul forțelor care acționează la stânga secțiunii este orientat în sus sau forțele rezultate care acționează în partea dreaptă a secțiunii sunt în jos; și negativ (figura 3, b) - cu direcția opusă rezultatului.
Momentul de încovoiere acționează într-un plan perpendicular pe secțiunea transversală. Acțiunea sa este asociată cu acțiunea tensiunilor normale, adică # 963; = f (MI). Momentul de încovoiere în orice secțiune transversală a tijei este numeric egală cu suma algebrică a momentelor legate de centrul de masă al secțiunii transversale a forțelor externe și a reacțiilor sprijină care acționează pe o parte a secțiunii. Momentul de încovoiere este considerat pozitiv dacă tija în secțiune transversală (fig. 3c) este convexă în jos îndoită și negativă (fig. 3, g) în cazul în care tija este îndoit în secțiune transversală umflătură în sus. Semnul momentului de încovoiere în secțiunea transversală poate fi determinată în mod convențional asigurarea secțiune și luând în considerare acțiunea forțelor dispuse pe ambele părți ale acestuia. De exemplu, vezi Fig. 1, a. forțele care acționează pe partea stângă a secțiunii 1-1 și secțiunea 2-2 a tijei îndoită chiar în aceste secțiuni este în jos, și anume convexe Mi 1-1> 0 și Mi 2-2> 0.
Atunci când se determină Q și Mi, se folosește un sistem de coordonate culisante, atunci când secțiunea transversală se calculează fie din secțiunea transversală cea mai din stânga, fie din cea mai dreaptă secțiune transversală a tijei.
Pentru consola fixat rigid pe o față (fig. 5.24, a) transversal tije de forță și momentul de încovoiere fără a găsi convenabil pentru a defini reacțiile de sprijin, luând în considerare în ceea ce privește secțiunea transversală a forțelor care acționează asupra porțiunii libere a tijei. Valorile Q și Ni la punctul B vor fi componente de fixare egală reacție podea adică QB = F = RBY. MiB = F # 903; # 8467; = MRB.
Q forță de forfecare și momentul încovoietor Mi, în general, depinde de poziția secțiunii transversale a lungul lungimii tijei, adică din valoarea lui x. Verificarea condițiilor de rezistență se efectuează în secțiunile cele mai periculoase, în secțiunile cu cele mai mari forțe interne și solicitări maxime. Pentru a găsi secțiuni periculoase și pentru reprezentarea vizuală a modificărilor de caracter ale forțelor interne complotau distribuția forțelor transversale Q = Q (x) și momentul încovoietor Mi = Mi (x) pe lungimea tijei, adică diagrame ale forțelor transversale și momentului de încovoiere.
Tija este împărțită în secțiuni, în timpul cărora încărcătura este uniformă. Pentru diagramele Q și M, sunt trase linii paralele cu axa longitudinală a tijei. Limitele parcelelor sunt demolate pe aceste linii. Pentru fiecare secțiune, expresiile comune pentru forța transversală Q = Q (x) și forța de încovoiere Mg = MI (x), pentru care secțiunile arbitrare sunt considerate în grafic. Apoi, diagramele Q și MI sunt construite. setarea argumentului x la valorile din fiecare secțiune. Valorile forței transversale și a momentului de îndoire sunt reprezentate ca ordonate ale graficului pe o scală: Luați în considerare schimbarea # 964; pentru o bară de secțiune transversală dreptunghiulară (Figura 5.23, b). Momentul static al zonei umbrite raportat la axa neutrului z este egal cu
- distanța de la axa z la centrul de masă al secțiunii tăiate. Aceasta este ecuația parabolică. Tensiunile tangențiale sunt definite de formula luând în considerare faptul că Iz = bh 3/12;
.
Cele mai mari tensiuni tangențiale din secțiunea transversală acționează la nivelul axei neutre. Pentru tijele cu secțiune transversală dreptunghiulară, acestea sunt de 1,5 ori mai mari decât tensiunea care s-ar fi obținut cu o distribuție uniformă a tensiunilor tangențiale de-a lungul secțiunii transversale.
Tensiunile tangențiale la încovoiere sunt maxime pe axa neutră și cu alte forme ale secțiunii transversale. Pentru tijele cu secțiune transversală ele sunt egale # 964; max = (4/3) (Q / A), pentru tijele secțiunii inelului - # 964; max = 2 (Q / A).
Condiția pentru rezistența tijelor în îndoire de-a lungul tensiunilor tangențiale este # 964; max ≤ # 964; adm. unde # Adm - stresul admis al materialului tijei pe forfecare sau forfecare. Rețineți că tensiunile tangențiale din secțiunile transversale ale tijei îndoite sunt mult mai mici decât cele normale, astfel încât calcularea rezistenței se efectuează, de obicei, la tensiuni normale, în conformitate cu expresia fără a lua în considerare efectul forțelor de forfecare.
Determinarea tulpinilor de îndoire
Atunci când un efort de încovoiere în secțiunea transversală tijă (Fig. 4a) este definită prin trecerea de la centrul de masă în secțiunea transversală perpendiculară pe poziția inițială a axei tijei, numit unghiul de deviere de rotație și # 952; secțiune în raport cu poziția sa inițială. Pentru a găsi deformările în toate secțiunile transversale de-a lungul lungimii tijei, este necesar să se obțină dependențele y = y (x) și # 952; = # 952; (x). Prima se numește ecuația unei axe curbe sau a ecuației de deformare.
Tangenta la axa curbată a tijei la oricare dintre punctele sale va face, cu axa inițială, un unghi egal cu unghiul de rotație # 952; secțiune la un anumit punct. Unghiul tangent # 952; panta tangentei tg # 952; = dy / dx. Dar, deoarece valorile reale ale unghiurilor de rotație ale secțiunilor transversale în timpul îndoirii sunt mici, la ordinul unei mii de radiani, tangenta unghiului poate fi asimilată cu valoarea unghiului (tg # 952; ≈ # 952;) și găsiți relația dintre unghiul de rotație al secțiunii și deformarea sub formă de dependență # 952; ≈ ≈ dy / dx.
Din cursul matematicii, se cunoaște următoarea dependență pentru curbura K a liniei situate în planul x0y:
Dar din moment ce (dy / dx) 2 = tg 2 # 952; = # 952; 2 <<1, то выражение (2) упростим, представив в виде
Folosind dependența (5.67), conectăm curbura axei tijei cu momentul de încovoiere Mi și rigiditatea secțiunii transversale EIz:
Comparând expresiile de curbură obținute în dependențele (3) și (4), obținem ecuația diferențială a axei curbe a tijei:
integrarea nu este dificilă. Alegerea semnului în expresie este determinată de sistemul de coordonate adoptat.
Semnul anterior adoptat pentru momentul de încovoiere M, (fig.4, b, c, d, q) nu depinde de direcția axelor de coordonate.
Curbura liniei este pozitivă, adică y "= d 2 y / dx 2> 0, în cazul în care concavitatea curbei coincide cu direcția pozitivă a axei y (fig.4, b, d) și invers (figura 4, c, d).
Cu axa y ridicată în sus, semnele părții dreaptă și stângă a ecuației (5) sunt întotdeauna aceleași, adică pentru y ''> 0 și Mi> 0 și pentru y '' <0 и Ми <0. Поэтому выражение 5) представим как
Pentru a găsi ecuațiile care determină deformările secțiunilor tijei sau deplasările lor unghiulare și liniare, este necesară integrarea ecuației. Integrarea ecuației o dată, obținem unghiul de rotație al ecuației
Integrând ecuația (5.80) a doua oară, obținem ecuația de deformări
unde C și D sunt constante ale integrării, determinate din condițiile limită, care sunt condițiile de fixare a tijelor îndoite.
Astfel, pentru o tijă fixată rigid la un capăt, devierea y și unghiul de rotație al secțiunii trebuie să fie zero în punctul de atașare. Pentru o tija care se sprijină pe suporturi articulate, devierea este zero la punctele de atașare.
Determinați deformarea și unghiul de rotație al capătului liber al consolei tije (fig.4, a) # 8467; încărcat la sfârșit printr-o forță concentrată F. Rigiditatea tijei este constantă în lungime și egală cu EI.
Originea coordonatelor este luată la punctul B al fixării rigide a tijei. Axa y este îndreptată în sus, axa x este îndreptată spre dreapta.
Într-o secțiune transversală arbitrară, separată de o distanță x față de origine, momentul de încovoiere este Mv = -F (# 8467; -x). Ecuația diferențială a axei curbe ia forma EI (d 2 y / dx 2) = -F (# 8467; - x). Pentru a integra această ecuație, obținem EI (dy / dx) = -F × [# 8467; x - (x 2/2)] + C. În plus, obținem ecuația de deviere
EIy = -F [(# 8467; x2 / 2) - (x3 / 6)] + Cx + D.
Luând în considerare faptul că la punctul de fixare pentru x = 0 deviația y și unghiul de rotație al secțiunii # 952; = Dy / dx sunt zero, constatăm că constanta de integrare C = 0 și D = 0. Apoi, la capătul liber al tijei atunci când x = # Defecțiunea y = (-F # 8467; 3) / (3EI) și unghiul de rotație al secțiunii finale # 952; = dy / dx = (-F # 8467; 2) / (2EI).
Semnul minus în expresiile pentru deformare și unghiul de rotație indică faptul că deformarea este în direcția opusă direcției pozitive a axei y. și anume în jos, iar secțiunea de capăt este rotită în sensul acelor de ceasornic.
Articole similare
-
Deflecția - tijă - o enciclopedie mare de petrol și gaze, articol, pagina 2
-
Conceptul de mișcare rectilinie uniformă și caracteristicile de bază
Trimiteți-le prietenilor: