Ce sunt tensorii? De ce sunt tensorii un instrument matematic de bază în fizică?
Cuvântul "tensor" rămâne în continuare foarte mult pentru mulți fizicieni și în special pentru non-fizicieni, mai ales cu o abstracție matematică ușor de înțeles. Și aceasta este în ciuda faptului că tensorii înșiși au fost folosiți în fizică pentru mai mult de un secol. Ce este un tensor? Răspunsul la această întrebare este extrem de simplu: este o colecție de seturi de numere care sunt puse în corespondență cu un anumit obiect fizic. izolate de restul lumii reale. fiecare procedură de măsurare (adică prin compararea simultană a întregului obiect sau a proprietăților sale individuale cu scalele selectate) și toate procedurile de măsurare admise simultan. Tensorii diferă în ceea ce privește numărul de numere din astfel de seturi și în regulile care le corelează valorile diferitelor sisteme de coordonate.
Aceste reguli sunt simple, de clasificare a tensorilor, dar această simplitate necesită explicații pe exemple ilustrative.
Luați pentru început un spațiu de preț unidimensional. folosit ca exemplu în discutarea conceptului de relativitate. Să alegem ca două valute admise (două sisteme de coordonate) rublele și dolarul, iar obiectul fizic va fi un rol.
Primul, cel mai simplu tensor care apare într-un astfel de spațiu este scalarul 1. atribuit unei astfel de proprietăți a obiectelor fizice ca fiind cantitatea: 1 rolă. Din alegerea unității de măsură a prețului (ruble sau dolar) această proprietate nu depinde, este un număr invariabil și fără dimensiuni. Scalar este numit și tensorul zero-rang. Un scalar poate lua o valoare numerică arbitrară - 2, 3, 1,5 (role). Observăm că, deși scalarii sunt fără dimensiuni, ele au o rudimentară urmă a dimensiunii - rolele diferă de cârnați, de exemplu, deși sunt destul de compatibile din punctul de vedere al prețului. Puteți vorbi despre prețul total al rulourilor și cârnaților împreună. Ie Diferența dintre scalare este într-o oarecare măsură transmisă dincolo de matematică. Un scalar este definit în spațiu înainte de introducerea oricărei proceduri de măsurare, acesta apare de îndată ce identificăm părți individuale din lumea noastră. Dar chiar și după determinarea sistemelor de coordonate, nu dispare. Acesta este cel mai simplu set de numere. Componenta din setul "scalar" este întotdeauna una. Valoarea sa este aceeași în toate sistemele de coordonate. Acest fapt, evident, nu depinde de numărul de dimensiuni ale spațiului, deoarece scalar însuși din procedura de măsurare, această dimensiune este decisivă, nu depinde.
Următorul tensor, pe care îl putem vedea imediat, este un vector sau un tensor al primului rang. Acesta nu este altceva decât prețul unui obiect fizic (în acest caz se rostogolesc). Din moment ce spațiul nostru este unidimensional, proprietatea unui obiect din acest spațiu este descrisă de un singur, atunci componenta din vector va fi de asemenea doar una. Dar! Dacă un scalar are o componentă întotdeauna, pentru un spațiu de orice dimensiune, atunci pentru un vector numărul de componente este strict egal cu numărul de dimensiuni. Acest lucru este sugerat în declarația "tensor de prim rang". Când se măsoară, fiecare scală atribuie obiectului selectat o componentă de dimensiune - un număr care indică câte astfel de scări este necesar pentru a reproduce obiectul. Dimensiunea diferitelor componente este diferită în cazul general și coincide cu numele unității de măsură corespunzătoare. În cazul nostru special, va fi, de exemplu, 25 de ruble. Prețul unei rulouri în ruble, x p = 25 (ruble). Și în dolari (într-un alt sistem de coordonate) acesta va fi 1 dolar, x d = 1 (dolari). Rețineți că coeficienții de tranziție între sistemele de coordonate (valute) sunt doi. De la ruble la dolari, raportul dolar-ruble pe această piață (e / e p = 1/25 dolar / ruble) și invers (e p / e d = 25 ruble / dolar). Coeficienții transformării coordonatelor sunt de asemenea dimensionali și au dimensiuni din ambele sisteme de coordonate. Valorile vectorului sunt transformate dintr-un sistem de coordonate în altul folosind formula x d = e d / e p • x p. Este o formulă destul de naturală. Pentru a obține valorile componentelor vectoriale în noul sistem de coordonate în raport cu unitatea "dolar", trebuie să înmulțiți valoarea vectorului în vechiul sistem de coordonate în raport cu unitatea "ruble" cu raportul dintre noua unitate și cea veche. Observați că și dimensiunile sunt transformate! Regula generală este aceea că componentele unui astfel de vector sunt transformate în tranziții între sistemele de coordonate folosind matricea de transformare a coordonatelor (unitățile din ele selectate), matricea derivatelor noilor coordonate ca funcții ale celor vechi. În exemplul nostru, matricea este redusă la un număr, dar este clar că în cazul mai multor unități (un spațiu cu mai multe dimensiuni), acesta va fi un tabel de numere (dimensional!).
Se pare că în spațiul nostru unidimensional există și alte tensori de prim rang, foarte asemănătoare cu vectorul prețului. Ele au, de asemenea, cât mai multe componente ca și unitățile de măsurători într-un spațiu dat. Prin urmare, ele sunt numite și vectori. Dar ele exprimă o altă proprietate a obiectului! Pentru a face distincția între aceste două tipuri de vectori, ei se numesc vectori contravarianți (cum ar fi vectorul prețurilor) și vectori covarianți. Aceste nume înseamnă "contra-transformare" și "co-transformare". Este ușor de înțeles că acest lucru se datorează formulelor pentru transformarea componentelor lor în tranziții între sistemele de coordonate. Acum vom introduce un vector covariantic pentru rulou și veți vedea diferența. Câte rulouri pot fi cumpărate pe unitate de măsură (în acest caz, prețurile - o ruble sau un dolar)? Întrebarea este destul de semnificativă, cerem adesea. Este această proprietate a obiectului, "trebuie să fie într-o astfel de cantitate pe unitate de măsură" și exprimând un vector covariant. Pentru o rulare va fi xp = 1/25 (1 / ruble). Ie pentru 1 ruble poți să cumperi 1/25 dintr-o rolă. Rețineți că indicele valutar este în partea de jos și că dimensiunea componentei vectoriale covariante este inversă a dimensiunii unității corespunzătoare. În alt sistem de coordonate, xe = e p / e d • xp. Componentele vectorului covariant sunt înmulțite cu raportul dintre vechea unitate și cea nouă. Regula generală care distinge un vector covariantic de un vector contravariant este că componentele acestuia sunt transformate cu o matrice inversă de transformare a coordonatelor, matricea derivatelor vechilor coordonate cu cele noi.
Și de ce avem nevoie de toți acești vectori? În viață, adăugăm, înmulțim, împărțim prețurile ... Corect, trebuie să introduc (descriu) operații cu tensori. Iată un exemplu de înmulțire, care poartă un alt nume special, convoluție. x p • xp = 1. Ce sa întâmplat ca urmare a acestei operațiuni, produsul prețului unei valori pe prețul unitar al aceleiași role? Așa este, scalar, numărul de rulouri, și anume exact acel rol. Iată o altă relație - z p = x p + y p. Ce spune? Mărfurile x au un anumit preț în ruble, mărfurile și altele. Prețul total al noului produs z. constând din două mărfuri împreună, denotăm prin z p. Și ce zici despre acest z z = x p + y d sum? Sau despre astfel de z p = x p + yp. Sau despre astfel de zp = x p + y p. Stupiditate, nu o poți pune așa - ruble cu dolari sau un preț cu un preț unitar. Și nu puteți adăuga două prețuri pentru a obține prețul unitar. Adăugarea de prețuri oferă întotdeauna un preț. Aici este principala regulă pentru operațiile cu tensori. pe care ați putea fi conștienți de cerința de covarianță a legilor fizicii. Adăugarea, scăderea și egalitatea pot lega numai tensorii aceleiași structuri în același sistem de coordonate. Și această regulă este complet naturală, ci doar articulează strict cerințele de bun-simț descrise mai sus.
Spațiul de preț pe care l-am ales pentru exemplele mele este prea simplu, deoarece tensorii unidimensionali și, din acest motiv, mai complexi (al doilea, etc.) nu pot fi introduși în ea pur și simplu (în mod oficial este posibil, dar ei nu au prea mult sens). Dar este foarte intuitiv, de înțeles, operațiunile în ea sunt familiare pentru aproape toată lumea. Vreau să subliniez un lucru mai important pe care am încercat să-ți explic, natural. Tensorul, indiferent cât de complex a fost la prima, a doua și a treia privință, nu este întotdeauna nimic mai mult decât expresia numerică a unor proprietăți măsurate ale unui obiect fizic izolat, concret. Mai mult decât atât, la acest nivel (pentru un tensor de un rang dat) există exact cât mai multe numere ca proprietățile obiectului sunt luate în considerare. Și puteți lua în considerare proprietățile la fel de multe ca diferitele unități independente pe care le aveți. Și este chiar mai bine să exprimați această idee din contră - pentru o descriere completă a obiectului trebuie să luați cât mai multe unități de măsură independente, câte proprietăți independente are acest obiect. În cazul nostru particular, suntem interesați de o proprietate, preț. Aceasta este unitatea de măsură pe care o avem.
Să luăm în considerare un exemplu mai complicat, dar încă în apropierea experienței noastre imediate. Și, bineînțeles, aproape de tema acestui site. Acest exemplu ne poate oferi un spațiu tridimensional. La școală, prima noțiune a unui tensor (deși fără a menționa că este o problemă a tensorului) obținem folosirea vectorului de viteză ca exemplu. Vectorul de viteză al unui punct (în cursul școlii fizicii și al oricărui corp solid) are 3 componente, prin numărul de dimensiuni ale spațiului. De obicei este reprezentată de o săgeată atașată corpului și de vectorul de rază din figuri. Trebuie clarificat faptul că conceptul unui vector de rază nu este exact echivalent cu conceptul de vector, deoarece Vectorul de rază nu este asociat cu un punct, dar întotdeauna cu două. Cu toate acestea, conceptul unui vector la un anumit punct este obținut ca rezultat al trecerii la limită din conceptul vectorului de rază atunci când al doilea punct tinde spre punctul ales. Și, în plus, în spațiul euclidian, ambele concepte sunt adesea interschimbabile, cel puțin în reprezentarea grafică. Puteți verifica dacă regula paralelogramului de adăugare a vectorilor dă exact același rezultat ca explicit (în termeni componenți) suma lor scrisă în algebra standard a tensorilor. Adăugarea a doi vectori de viteză (aceștia sunt vectori contravarianți): v i = u i + w i. i = 1,2,3. Pentru spațiul tridimensional, este mult mai ușor să dați exemple de tensori și următoarele rânduri. Unul dintre acești tensori importanți de al doilea rang pentru spațiul Euclidian cunoscut este tricorul metric tensor. care în toate sistemele de coordonate ortogonale este diagonală: gik = 1 pentru i = k și = 0 pentru i ≠ k. Folosind acest tensor, se calculează valoarea oricărui vector contravariant, incluzând, desigur, vectorul de viteză: v 2 = Σ gikv iv k. unde sumarea este peste toate valorile celor doi indici, iar cantitatea v (ca v 2) este scalară. Această formulă nu înregistrează nimic mai mult decât teorema pitagoreană aplicată vectorului vitezei tridimensionale.
Desigur, același tensorul sunt obiecte geometrice, numai unele dintre ele un caz special. Aici vreau să vă explic exact ceea ce este proeminenta tuturor tensori de seturi semnificative de măsurători ale obiectelor geometrice. Tensorii sunt întotdeauna asociate cu un anumit obiect. Geometric drept obiecte de conversie, diferit de variabilele tensoriale asociate obiectelor într-o procedură de măsurare unică (sistem de coordonate), se spune despre un obiect, și o alta - de alta. Tensorii și operațiunile cu ei, da drumul la un nu-brainer, și întotdeauna se ocupe în mod corespunzător rezultatele de măsurare a proprietăților obiectelor selectate. Desigur, dacă înțelegem în mod corect semnificația fiecărui tensor folosit de noi. Dar nu este o chestiune de matematică, și interpretarea, aplicarea matematicii în lumea reală.
Ei bine, se pare că ideea generală a tensorului și de ce folosirea lor este convenabilă și, cel mai important, importantă și inevitabilă, am clarificat.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: