Esența metodei constă în aproximarea integrandului pe intervalul [a, b] printr-un polinom de interpolare de gradul al doilea. adică aproximarea graficului unei funcții pe un segment printr-o parabolă.
Formula Simpson (vezi Figura 1.5) este integrarea polinomului de interpolare de gradul al doilea pe intervalul [a, b]:
în cazul în care. și - valorile funcției la punctele corespunzătoare (la capetele segmentului și în centrul acestuia).
Figura 1.5 - Metoda parabolică pentru intervalul ...
[a, b] fără partiționare
Spre deosebire de metodele dreptunghiuri și trapeze, în acest caz, funcția integrandul este aproximată printr-un polinom de gradul al doilea () nu este pe una și pe cele două secțiuni adiacente (vezi Figura 1.6). Prin urmare, numărul de secțiuni la care este împărțit segmentul. trebuie să fie echilibrat.
Figura 1.6 - Metoda Simpson pentru împărțirea intervalului de integrare printr-o rețea uniformă
Eroarea în calculul unui integral integral utilizând metoda Simpson (metoda parabolei) poate fi estimată din formula:
unde este valoarea maximă a celui de-al patrulea modul derivat de pe teren. și anume Formula compusă de Simpson este mult mai precisă decât formulele dreptunghiurilor și trapezoidelor. Ea are în intervalul [a, b] o ordine de acuratețe a patra (Rn = 0 (h 4)).
Se vede din expresiile de eroare că formulele dreptunghiurilor medii și ale trapeziei sunt precise pentru polinomii de gradul I, adică, pentru funcțiile liniare, iar formula Simpson este exactă pentru polinoamele până la a treia putere (pentru ele eroarea este zero).
În practica de inginerie, formula de estimare a erorii nu este utilizată deoarece necesită rezolvarea problemei suplimentare de a găsi maximum de derivați mai mari ai integrand. O metodă mai convenabilă pentru estimarea erorii în calculul unui integral integrat este o metodă bazată pe regula Runge (regula dublă de numărare). Integratul definit este calculat de două ori: odată cu o etapă de integrare. și un alt moment cu o etapă de integrare mai mică h2 = h1 / 2. Relația regulii Runge, care este valabilă pentru toate metodele de calcul aproximativ al integralului
unde S (h / 2) și S (h) sunt valorile aproximative ale integrității calculate la etapele de împărțire a intervalului [a. b], care diferă de la celălalt de două ori. Pentru metodele dreptunghiurilor și trapezelor medii, valoarea m = 2, pentru metoda Simpson m = 4. Datorită acestui fapt, pentru a estima eroarea valorii calculate a integrului cu etapa aleasă, este necesar să repetăm calculele, dublând dimensiunea pasului și să folosim relația de mai sus. Dacă problema necesită obținerea de rezultate cu o eroare mai mică decât cea obținută, este necesar să se reducă la jumătate valoarea pasului de integrare și să se repete calculele.
Exemplul 1. Folosind metodele dreptunghiurilor, trapezoidelor și Simpson, calculează în Excel un integral
cu o etapă de integrare h = 0,25.
Soluția. Una din posibilele implementări ale formulei pentru aceste metode este prezentată în Figurile 1.7 (modul de afișare a formulei) și 1.8 (modul standard pentru afișarea valorilor în celule Excel) /
Figura 1.7 - Fragmentul unei foi de lucru într-o foaie de calcul Excel calculând integral
în modul de afișare a formulei
Figura 1.8 - Fragmentul foii din foaia de calcul Excel care calculează integralul în modul de afișare a valorilor din celule
La calcularea integralelor s-au folosit următoarele formule:
- în celula "B2" este introdus formula „= 1 / LOG (A5)» și utilizarea copiat în celula pentru completarea automată B6-B13;
- formula "= D5 * B5" este introdusă în celula "I5", care este apoi copiată în dreapta și în jos pentru a umple intervalul I5: L13;
- în celula «I15» injectat formula «= $ F $ 2 * SUM (I5: I13)», care este apoi copiat în dreapta «L15» celulă;
- în formula «K15» celula se adaugă la divizarea etapei de integrare 2 ( «= $ F $ 2/2 * SUM (..."), în «L15» celulare - diviziunea 3.
Un exemplu. Calculați integritatea cu precizia # 949; = 0,001.
În Excel, calculul integralului cu o precizie dată, pentru metodele discutate mai sus, este posibil numai cu metoda dublă de numărare implementată în program pe VBA. Un exemplu de astfel de program este prezentat mai jos.
n = 2 'numărul inițial de partiții
Pentru iter = 1 până la 100
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: