Lecție practică # 1

Tema. Rezolvarea problemelor pe tema "Cinematica unui punct material".

  • - pe exemplul problemelor din cinematică să familiarizeze studenții cu metodele de bază alegând cadrul de referință, să ia în considerare înregistrarea ecuațiilor de bază ale teoriei pentru mișcări specifice;
  • - să ia în considerare modalități de rezolvare a problemelor specifice.

Secvența acțiunilor de rezolvare a problemelor cinematice este determinată de necesitatea de a scrie ecuațiile de bază ale teoriei aplicate condițiilor unei anumite probleme. Pentru aceasta, ar trebui:







  • - selectați un sistem de referință, asociați un sistem de coordonate cu el, desenați un desen;
  • - Notați ecuațiile de bază ale teoriei pentru condițiile acestei probleme particulare;
  • - pentru a izola momentele de timp despre care există informații în rezolvarea problemei și pentru a le aplica ecuațiile de bază ale teoriei;
  • - Pentru a scrie în limba matematică alte condiții conținute în textul problemei.
  1. Este posibil să se ia în considerare punctele materiale ale corpului descrise în următoarele propoziții?
    • - Calculați calea Pământului când vă deplasați pe orbită în jurul Soarelui.
    • - Calculați posibilitatea unei coliziuni a unui satelit cu un meteorit.
    • - Pentru a determina volumul mingii, se coboară într-un pahar.
    • - Pentru a măsura masa de lămâie, puneți-o pe scară.
  2. În acest caz, obiectul care a scăzut din mașină va cădea la sol mai devreme: când mașina este în picioare sau când se mișcă?
  3. Pământul se rotește de la vest la est. De ce, sărind în sus, ajungem în același loc și nu ne mișcăm în vest?
  4. Poate un schior de apă să alerge mai repede decât o barcă? Poate barca să se miște mai repede decât un schior?
  5. Ce ceas are viteza liniară de la sfârșitul minutei mai mult - pentru buzunar sau mare, montat pe perete? Răspundeți la această întrebare pentru viteza unghiulară.

Exemple de rezolvare a problemelor de calcul

Problema 1. Două mașini A și B se intersectează cu cursă (Figura 1) cu viteze date și. Determinați grafic cea mai scurtă distanță la care se conectează mașinile.

Vitezele sunt date în raport cu cadrul de referință conectat la Pământ (figura 1). Problema este ușor de rezolvat dacă una dintre mașini este în repaus. În acest caz, distanța minimă va fi egală cu lungimea perpendicularului scăzut din punctul în care se află mașina de repaus, în direcția de mișcare a celeilalte mașini.

Mașina va fi fixată într-un cadru de referință asociat cu această mașină. Lăsați sistemul de referință legat de V. vehiculului Apoi, conform legii adaosului vitezei, viteza mașinii A în cadrul de referință asociat aparatului B, va ieși din viteza automobilului A față de Pământ și viteza cu care Pământul se mișcă în raport cu aparat B (fig. 2) . Iar viteza autovehiculului în cadrul de referință asociat cu masina B, găsiți regula de adăugare vector. Distanța minimă necesară este BC.

Răspuns: Cea mai scurtă distanță la care se apropie mașina este BC.

Problema 2. mută tija rigidă într-un plan, astfel încât viteza punctului A și tija este îndreptată la un unghi α față de axa tijei, iar viteza punctului B este direcționat la un unghi β (Fig. 3) Găsiți o viteză V. Punct

În cadrul referinței, care este legat de planul în care se mișcă tija, mișcarea pare foarte dificilă: constă în mișcare de translație și rotație. Problema mult simplificată în cazul în care cadrul de referință asociat cu punctul A. În acest sistem, punctul de referință B se va deplasa într-un cerc, și deci viteza acestui punct va fi perpendicular pe tija (Fig. 4). Conform legii de adăugare a vitezelor

. (1)
unde este viteza cu care se deplasează planul de mișcare a tijei în raport cu punctul A.

Se recomandă proiectarea egalității vectoriale (1) pe axa X de-a lungul tijei. Atunci ajungem acolo.

Problema 3. Capetele tijei A și B se aliniază de-a lungul laturilor unghiului drept (Figura 5). Cum accelerația mijlocului tijei C depinde de unghiul α, dacă capătul B se mișcă cu o viteză constantă? Lungimea tijei l.

În cadrul de referință conectat la Pământ, punctul A al tijei se va deplasa de-a lungul laturii verticale a unghiului drept. Indicăm această viteză. Vom trece la sistemul de referință asociat cu unul dintre capetele tijei - cu punctul B. în acest cadru al punctului de referință A se va roti circumferențial viteză variabilă, perpendicular pe tija (figura 6.). Conform legii de adăugare a vitezelor

Deoarece, atunci accelerația punctului A va fi aceeași în ambele cadre de referință. Proiectați egalitatea vectorului (2) pe axa X. Apoi ajungem

.
În cadrul de referință legat de punctul B, accelerația normală a punctului A va fi îndreptată de-a lungul tijei și va fi egală cu magnitudinea. Pentru că, atunci. În consecință ,.

Din legea adăugării de viteze rezultă că accelerațiile la punctul C vor fi aceleași în ambele cadre de referință. Deoarece toate punctele de mișcare tijă cu aceeași viteză unghiulară și liniară și vitezei unghiulare sunt legate de unde R - raza cercului pe care punctul în mișcare, atunci. În consecință, accelerația normală și tangențială la punctul C va fi jumătate din magnitudinea modulului decât în ​​punctul A, u.

Problema 4. Viteza unei monede alunecând dintr-o pană pe o suprafață orizontală netedă este prezentată în Fig. 7. Din punct de vedere grafic, găsiți viteza pantei.

Atunci când moneda se deplasează de-a lungul pantei, panta însăși va aluneca de-a lungul planului orizontal spre dreapta cu viteză (Figura 8). Vom presupune că rama fixă ​​de referință este legată de planul pe care se află panta și de cadrul mobil cu pană. Apoi, conform legii adaosului vitezei, viteza monedei în raport cu planul în lungul căreia pană în mișcare pot fi scrise, în cazul în care - viteza în raport cu pană monedă îndreptată de-a lungul unui plan înclinat. În consecință, vectorul este diagonala paralelogramului construit pe vectori și, așa cum ne permite să găsim din construcție.







Problema 5. Sunt oferite trei mese de biliard de diferite lungimi, dar cu aceeași lățime. De pe laturile lungi ale biliardului sunt trimise simultan bile cu aceleași valori în modul și viteza de direcție. În același timp, bilele se vor întoarce după toate reflexiile posibile la aceeași placă? Pentru a considera impactul mingii pe partea laterală a bazinului este absolut elastic.

Cazurile posibile de mișcare a bilelor sunt prezentate în Fig. 9. Mingea se mișcă în toate cazurile în planul mesei, astfel încât această mișcare poate fi reprezentată ca o sumă de mișcări de-a lungul laturilor lungi și scurte ale mesei. Toate bilele în momentul inițial au aceleași componente de viteză paralele cu bordul scurt. Atunci când se lovește de o margee scurtă, această componentă nu se schimbă, iar atunci când atinge un lung, schimbă direcția, însă magnitudinea ei rămâne constantă. Deoarece lățimea tuturor biliardelor este aceeași, toate cele trei bile se vor întoarce la aceeași bord, de la care începe mișcarea lor simultan.

Răspundeți: bilele se vor întoarce la bord, de la care începe mișcarea lor simultan.

Problema 6. Bilele de biliard se află la punctul A. Dimensiunile biliardului și distanța mingii de la buzunarul B sunt prezentate în Fig. 10a. La ce unghi trebuie să îndrepți mingea spre placa scurtă pentru a intra în buzunar B după ce mingea se reflectă din cele două părți? Să considerăm că impactul mingii pe tablă este absolut elastic, adică unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie.

Traiectoria de-a lungul căreia se va mișca bilele este prezentată în Fig. 10b. Mingea se mișcă în planul mesei, astfel încât mișcarea ei poate fi considerată o sumă de mișcări independente de-a lungul lungii și de-a lungul laturii scurte. Indicăm viteza mingii în momentul inițial al timpului. Viteza de-a lungul laturii lungi va fi egală, iar cea scurtă. De-a lungul laturii lungi, mingea trece distanța 2b. și pe scurt - 2a-c. Deoarece componentele de viteză de-a lungul laturilor lungi și scurte nu variază în mărime, se poate scrie
,
,
unde t este momentul mișcării mingii. Împărțind o ecuație în alta, obținem
.

Problema 7. Două corpuri se mișcă în linie dreaptă unul cu celălalt cu viteze inițiale v1 și v2 și accelerații constante a1 și a2. direcționat opus vitezelor corespunzătoare la momentul inițial al timpului. La ce distanță maximă dintre cadavre se vor întâlni în timpul mișcării?

În cadrul de referință asociat cu pământ, poate avea loc întâlnirea a două corpuri, fie ca se misca una spre alta, sau în cazul în care unul dintre organismele de a schimba direcția înainte de a se intampla reuniunii, si va prinde din urmă cu un alt organism.

Este convenabil să rezolvați problema într-un cadru de referință legat de unul dintre corpurile în mișcare. Apoi, în momentul întâlnirii, viteza celui de-al doilea corp trebuie să ajungă la zero. Viteza la momentul inițial al timpului și accelerarea corpului în mișcare va fi respectiv egală cu v1 + v2 și a1 + a2. Momentul în care întâlnirea a avut loc este determinată de condiția că viteza corpului în mișcare la această clipă devine zero:

Deoarece accelerația este constantă, distanța maximă va fi egală cu

Rezolvăm împreună (4) și (5), obținem

Problema 8. De la un turn cu înălțimea H, la un unghi a la orizont (în jos), aruncați corpul. Simultan cu suprafața Pământului la un unghi a spre orizont, al doilea corp este aruncat spre primul. Determinați la ce distanță de la piciorul turnului este locul de a arunca al doilea corp, dacă ambele corpuri se ciocnesc în aer.

Deoarece ambele corpuri se mișcă în același plan, mișcarea fiecăruia poate fi reprezentată ca o sumă de mișcări independente de-a lungul liniilor orizontale și verticale. Alegem Pamantul ca organism de referinta. Iar cu corpul de referință vom conecta un sistem de coordonate având două axe X și Y, a căror origine se află la poalele turnului (Figura 11).

Deoarece ambele corpuri se deplaseze sub forța gravitației, îndreptată vertical în jos, mișcarea orizontală va fi uniformă, iar pe corp vertical se va deplasa cu accelerație constantă egală cu accelerația gravitațională. Să denotăm viteza primului corp în momentul inițial al timpului, iar al doilea -. Coordonatele primului corp se vor schimba în timp, în conformitate cu legea

și al doilea corp - conform legii

În momentul coliziunii, coordonatele acestor corpuri vor coincide:

De aici obținem două ecuații:

care pot fi rescrise după cum urmează:

Împărțim prima ecuație cu a doua, obținem

Problema 9. Un băiat deține un capăt al plăcii, iar celălalt capăt se află pe cilindru (Figura 12). Placa este orizontală în același timp. Apoi, băiatul mișcă bordul înainte, astfel încât cilindrul se rotește fără alunecare de-a lungul planului orizontal, dar nu există nici o alunecare a plăcii de-a lungul cilindrului. În ce mod ar trebui băiatul să ajungă la cilindru, dacă lungimea plăcii este L?

Dacă corpul participă simultan la mișcarea de rotație și translație, atunci pentru a descrie mișcarea sa, este convenabil să introducem axa instantanee. Apoi, corpul în fiecare moment al timpului se va roti în raport cu axa instantanee ca întreg. Pentru un cilindru, o astfel de axă instantanee este generatorul său O, tangent la planul de-a lungul căruia se rotește (Figura 13). Viteza unghiulară a tuturor punctelor roții în raport cu axa O va fi aceeași. În consecință, viteza liniară a punctului la care placa este în contact cu cilindrul va fi de 2 ori mai mare decât viteza liniară cu care se deplasează axa cilindrului. Prin urmare, în momentul în care băiatul trece distanța L., axa cilindrului se deplasează la o distanță L / 2. Astfel, pentru a ajunge la cilindru, băiatul trebuie să treacă la distanța de 2L.

Răspuns: Băiatul trebuie să treacă la distanța 2L.

Sarcini pentru munca independentă

1. Mașina și motocicleta se deplasează una spre cealaltă cu viteze corespunzătoare egale cu 12 m / s și 24 m / s. Distanța dintre acestea la momentul inițial este de 500 m. Presupunând că mașina și motocicleta se deplasează de-a lungul axei X îndreptate spre mașină, notați legea de mișcare x (t) pentru mașină și motocicletă. În momentul inițial, poziția mașinii coincide cu originea și se mișcă în direcția pozitivă a axei X.

2. Din două orașe să se întâlnească două autobuze rămase: una la ora 9 și cealaltă la ora 9:30. Primul sa mutat la o viteză de 40 km / h, al doilea - la 60 km / h. Lungimea căii este de 120 km. La ce oră și la ce distanță s-au întâlnit autobuzele din orașe?

Răspuns: Întâlnirea a avut loc la ora 10:30. în mijlocul drumului.

3. Pasagerul trenului, care călătorește cu o viteză de 40 km / h, vede pentru un tren de 3 secunde 75 metri lungime. Cât de rapid este trenul care se apropie?

Răspuns: v = 50 km / h.

4. O roată cu raza R = 10 cm se rotește astfel încât dependența vitezelor liniare ale punctelor situate pe janta roții este dată de ecuația v = At ​​+ Bt 2. unde A = 0,5 cm / s 2. B = 1 cm / s 3. Găsiți unghiul α, care este alcătuit din vectorul de accelerație completă cu raza roții la momentul t = 2,4 s după pornirea mișcării.

5. Corpul este aruncat vertical în sus. Intervalul de timp dintre două momente când corpul trece printr-un punct situat la o înălțime de H. este egal cu. Găsiți viteza inițială și timpul de mișcare.

6. Două mașini se deplasează de-a lungul a două drumuri intersectate la un unghi de 30 °: unul la o viteză de 54 km / h, al doilea la o viteză de 26 km / h. La un minut după ce a traversat prima răscruce de mașini pe celălalt drum, a trecut a doua mașină. Determinați distanța cea mai mică dintre mașini după trecerea intersecției celei de-a doua mașini.

7. Piatra este aruncată orizontal din vârful muntelui, având un unghi de înclinare egal cu α. Cu ce ​​viteză v ar trebui să fie aruncată o piatră care să cadă la o distanță l (de-a lungul unui plan înclinat) de sus? Rezistența la aer poate fi neglijată.

8. Raza mânerului sondei este de trei ori raza arborelui pe care este înfășurat cablul. Care este viteza liniară a capătului mânerului când ridicați cupa de la o adâncime de 10 metri în 20 de secunde?

9. Băiatul rotește o piatră legată de o frânghie de lungime l = 0,55 m în planul vertical, făcând viteza n = 3ob / s. La ce înălțime a luat piatra, dacă frânghia sa oprit în momentul în care viteza a fost îndreptată vertical în sus?

10. O roată cu o rază de 50 cm se rotește uniform la o viteză de 18 km / h. Care este valoarea vitezei v a punctului de sus al roții?

11. Hoopul este turnat pe un plan orizontal dur, cu o viteză liniară v. În același timp, este informat despre mișcarea de rotație într-o astfel de direcție încât trebuie să se rotească de-a lungul planului în aceeași direcție (Figura 14). La ce viteză unghiulară ω se rotește cercul peste planul anti-alunecare, dacă raza cercului R?







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: