După cum sa menționat mai sus, o bază într-un spațiu vectorial dat poate fi introdusă în moduri diferite. În acest sens, apare o problemă naturală: să descriem relația dintre baze.
Dovada că dimensiunea unui spațiu vectorial nu depinde de alegerea bazei (adică, orice bază conține același număr de vectori).
Fie baza \ (e_1, e_2, e_n \) si \ (f_1, f_2.F_n \) in spatiul vectorial \ (\ mathit \). Orice vector al celei de-a doua baze poate fi exprimat în termenii vectorilor primei baze, astfel încât \ [f_1 = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (41) \] \ [f_2 = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (42) \] \ [. \] \ [f_n = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (43) \]
sau \ [f_k = \ sum_ ^ nc_e_m, k = 1,2. n. \ quad \ quad (44) \]
Definiția. Matricea \ [C = \ left (\ begin c_ C_ C_ \ ldots c_ \\ c_ C_ C_ \ ldots c_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ c_ C_ C_ \ ldots c_ \ end \ right). \] ale căror elemente sunt introduse în conformitate cu relațiile (41) - (43), se numește matricea înlocuirii bazei \ (\\) cu baza \ (\\).
În mod similar, putem exprima vectorii bazei \ (e \) în termenii vectorilor bazei \ (f \): \ [e_1 = b_f_1 + b_f_2 +. + b_f_n, \ quad \ quad (45) \] \ [e_2 = b_f_1 + b_f_2 +. + b_f_n, \ quad \ quad (46) \] \ [. \] \ [e_n = b_f_1 + b_f_2 +. + b_f_n, \ quad \ quad (47) \] sau \ [e_s = \ sum_ ^ nb_f_k, s = 1,2. n. \] În consecință, matricea \ (B \) apare: \ [B = \ left (\ begin b_ B_ B_ \ ldots b_ \\ b_ B_ B_ \ ldots b_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ b_ B_ B_ \ ldots b_ \ end \ right). \]
Teorema. Matricea de tranziție de la bază la bază nu este degenerată.
Înlocuind (41) - (43) în (45) - (47), obținem: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ stânga (\ sum _ ^ nc_e_m \ right). \]
In ultima expresie sunt două sume finite. Pentru sume finite, în conformitate cu regulile aritmetice obișnuite, este posibil să se schimbe ordinea de însumare. Dându-și seama că, obținem: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ left (\ sum _ ^ nc_e_m \ dreapta) = \ sum_ ^ ne_m \ left (\ sum _ ^ nc_ B_ \ dreapta). \]
Comparând expresiile de pe stânga și dreapta, și folosind vectorul de coordonate unicitate (t.e.koeffitsientov la \ (e_m \), în stânga și dreapta), obținem: \ [\ sum _ ^ nc_ b _ = \ delta _, \ quad \ quad ( 48) \] unde \ (\ delta \) - simbolul Kronecker definit conform relației: \ (\ delta _ = 0 \) dacă \ (m \ neq s \), \ (\ delta _ = 1 \) dacă \ (m = s \). Pe partea stângă a relației (48) este ușor de identificat matrici de multiplicare matrice \ (C ^ T \) și \ (B ^ T \). Pe partea dreapta sunt elemente ale matricei de identitate \ (E \), care are unități pe diagonală, iar restul elementelor sale sunt zero. Astfel, avem egalitatea: \ Transpunând această ecuație, descoperim [C ^ TB ^ T = E \ quad \ quad (49) \.]: \ (BC = E \). Conform proprietăților determinanților, avem \ det (B) det (C) = det (E) = 1. \], astfel încât matricele \ (B \), \ (C \) să fie nedegenerate și inversate între ele.
1. Dovediți că fiecare din cele două sisteme de vectori date este o bază. Găsiți matricea de tranziție de la un sistem la altul. \ a] = (1,2,1), \ quad a_2 = (2,3,3), \ quad a_3 = (3,8,2), \] \ [b_1 = (3,5,8) \ quad b_2 = (5,14,13), \ quad b_3 = (1,9,2). \]
2. Cum se va schimba matricea tranziției de la o bază la alta dacă doi vectori ai celei de-a doua baze se schimbă?
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: