6) (a + b) = a + b
8) a (+) = a + a
Deci, pe setul de vectori geometrici (setul de vectori ai unei linii, a unui plan sau a unui spațiu) sunt definite două operații - adunarea și multiplicarea cu un număr, numite operații liniare. iar aceste operațiuni au un număr de proprietăți.
Există exemple și alte seturi (set de numere reale, mulțimea numerelor complexe, setul de matrici de aceeași dimensiune, etc.), pe care sunt introduse și operații liniare. Deși aceste operații pe fiecare set, proprietățile acestor operații sunt determinate de meciul cu proprietățile lor 1) - 6) operații lineare asupra vectorilor geometrici. De aceea, în mod firesc există necesitatea de a studia o multitudine de elemente de orice fel, în care sunt definite operații liniare. Mai mult, operațiunile pot fi specificate în orice mod, cu condiția ca acestea să aibă un anumit set de proprietăți. Astfel de seturi în matematică se numesc spații liniare. Principalele prevederi ale teoriei spațiilor liniare joacă un rol important în studiul de multe domenii ale matematicii, mecanicii si fizica.
Astfel, setul de vectori geometrici liberi formează un spațiu liniar. Spațiul vectorilor planului este notat cu V 2. Setul de vectori ai spațiului tridimensional este notat cu V 3. Spațiul vectorilor localizați pe o linie dreaptă (sau paralel cu o linie dreaptă) este notat cu V 1.
Se demonstrează că în fiecare spațiu liniar există o colecție de elemente a1. a2. ..., astfel încât orice element x al spațiului poate fi reprezentat în mod unic ca o sumă a elementelor din această colecție luate cu niște coeficienți numerici
(în acest caz se spune: "x este reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor a1, a2 ..., a"). Un astfel de set de elemente este numit baza unui spațiu liniar, iar numărul elementelor din acest set este dimensiunea spațiului.
Baza spațiului V 1 formează orice vector nenul.
Baza spațiului V 2 formează oricare doi vectori noncoliniari.
Baza spațiului V3 este orice trei vectori necoplanari.
Dovada. După cum sa menționat mai sus, dacă colecția 1. 2. ..., k. vectori ai unui spațiu liniar este o bază, atunci vectorul satisface egalitatea
unde bi sunt numere.
1) Luați în considerare un vector arbitrar nonzero Î V 1. Deoarece toți vectorii V1 se află pe aceeași linie, ei sunt coliniari, prin urmare, pentru orice vector a Î V 1 poate fi scris. prin urmare, vectorul formează o bază în V1.
2) Considerăm doi vectori arbitrari noncoliniari a și b ÎV 2. Vom arăta că "cu ÎV 2 $ x. la Î R 2. astfel încât.
Luați în considerare un vector arbitrar c ÎV 2. Fie, de exemplu, (figura 6). Prin punctul C se trasează o linie paralelă cu vectorul b. și prin punctul D o linie dreaptă paralelă cu vectorul a. Apoi, vectorul este paralel cu vectorul a și, prin urmare, = x. iar vectorul este paralel cu vectorul u = y. Prin urmare, din triunghi, obținem
care urma să fie dovedită.
Aserțiunea 3) se dovedește independent.
Egalitatea se numește expansiunea vectorului c în raport cu baza a, b, coeficienții x și y ai acestei extinderi se numesc coordonatele vectorului c în baza a, b, înregistrarea c = (x, y) se numește forma de coordonate a vectorului c.
Dacă a, b. `c - vectori non-coplanari, atunci ele formeaza baza spatiului V 3. prin urmare" d ÎV 3 expansiune în baza a, `b. `c> are forma
Seturile de numere (x, y) sau (x, Y. Z) sunt, de fapt, matrici de rang cu lungimea 2 si 3, respectiv *. Prin urmare, operațiile asupra vectorilor sub formă de coordonate se efectuează în conformitate cu regulile de acțiune asupra matricelor.
Prin urmare, dacă vectorii sunt coliniari, atunci coordonatele lor sunt proporționale.
În schimb, dacă coordonatele celor două vectori sunt proporționale, atunci avem:
iar acest lucru înseamnă că vectorii sunt coliniari.
Astfel, am demonstrat că, pentru ca doi vectori să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor să fie proporționale.
Considerăm o linie arbitrară l și pe ea vectorul unității e. Acest vector generează pe linia l o familie de vectori situată pe această linie :. Pentru l> 0, a și e. cu l <0 `а `е. значит, орт`е определяет на прямой l два противоположных направления.
Linia pe care este aleasă direcția este numită axă. iar unitatea care specifică această direcție se numește ortograma axei. Direcția, co-direcționată cu direcția gurii, este numită pozitivă. direcția opusă este negativă. Orth determină de asemenea scara și originea (punctul de aplicare) pe axă. Proiecția vectorului asupra coloanei vertebrale este un vector proiecție pe versorul axei:
Dacă un punct O este ales în spațiul V 3 și în mod arbitrar <> cu originea la punctul O, atunci cele patru sunt numite bancă. Se spune că în V 3 este dat un sistem de coordonate cartezian (sistem de coordonate afine) dacă se dă un cadru în el și o axă numită axă de coordonate este asociată cu fiecare vector al cadrului. Prima dintre aceste axe, corespunzătoare vectorului `e1. se numește axa abscisei, al doilea prin axa ordinelor, iar a treia cu axul aplicatorului. Indicați sistemul de coordonate de obicei OXYZ. Apoi, la fiecare punct M al spațiului tridimensional am pus în corespondență un triple de numere M (x, y, z) - coordonatele vectorului (vectorul de rază al acestui punct) în baza <>.
În mod similar, este introdusă noțiunea de sistem de coordonate pe un avion.
Noi denotăm prin i. `J. `k sunt vectori de unitate reciproc perpendiculați :. `i ^` j ^ `k. Evident, acești vectori formează o bază în V3. Se spune că o bază este ortonormală. Sistemul de coordonate carteziene generat de cadrul i. `J. `k ', se numește sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziană. În acest fel:
Un sistem cartesian de coordonate dreptunghiulare într-un spațiu tridimensional este o colecție
- un anumit punct O, numit originea coordonatelor;
În cele ce urmează vom lua în considerare sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziene (DPSK).
Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare carteziană, coordonatele vectorului = (ax, ay, az) sunt egale cu proiecțiile acestui vector prin axele de coordonate: ax =, ay =. az =.
Vectorii de bază `i. `J. `k în DPSK au coordonate
Luați în considerare un vector arbitrar ÎV 3. Unghiile pe care acest vector le formează cu axele de coordonate (sau cu ormi de bază - J. J. K) vor fi notate cu a =. b =. g = (figura 7). Cosinele acestor unghiuri cosa, cosb, cosg sunt numite direcțiile cosinilor vectorului. Direcțiile directe ale unui vector dat au proprietatea
cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1.
Ele caracterizează direcția vectorului față de DPSK.
Fiecare punct M al planului (spațiu) din DPSK selectat poate fi asociat cu vectorul său de rază. Coordonatele unui punct din DPSK sunt coordonatele vectorului de rază.
... Dacă știți coordonatele punctelor A (.. XA YA zA) și B ((Xb ub ZB) - începutul și sfârșitul coordonatele vectoriale ale acestui vector pot fi găsite prin regula „coordonatele vectoriale ale Scădeți de capăt poziția de pornire corespunzătoare“:
Curs 9. Înmulțirea vectorilor. aplicaţii
Produs scalar al vectorilor, proprietățile, aplicațiile.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: