Ce este o legătură afină?
Conexiune afinică. Acest termen nu spune prea mult unei persoane care a primit o educație universitară. Cu toate acestea, sper să explic în exemple destul de simple ce este acesta și de ce are o semnificație decisivă pentru fizică.
Sper că ați văzut deja articole despre relativitate. tensor. pseudo-euclidiană și metrică. și au o idee despre cum la fiecare punct al spațiului-timp pot fi diferite seturi de unități de măsură în moduri diferite. Am continua cu presupunerea că a fost făcut și toate punctele dintr-o anumită regiune de spațiu-timp sunt echipate cu seturi de solzi si are imaginea zonei sub forma continuumului descris printr-un sistem de coordonate. Fie pentru simplitate spațiul bidimensional și coordonatele unui punct sunt notate cu x i. i = 1,2. Gradul mare de unități de măsură, fiecare punct fiind reprezentat de vectori contravariant e i 1. 1 și cu componente de 0 și e i 2. cu componente de 0 și 1. De notat că componentele acestor vectori în sistemul de coordonate este pretutindeni aceeași, în fiecare punct. În plus față de vectorii scalelor, este posibil să se determine în fiecare punct setul de vectori de deplasare infinitezimală din el - dx i. Există infinit de multe astfel de vectori, câte unul pentru fiecare cale care duce din punct. Dar, în mod tradițional, ei se vorbește în singular - un vector de influență infinitezimal, deoarece de obicei, un vector din set întreg, într-un fel, este întotdeauna implicit.
Doar aici este problema. Cum să vă asigurați că ceasul "bun" este peste tot și peste tot, și chiar și timpul este același? Da, și conducătorii de asemenea. Știm cu certitudine că nu este așa. Deci, nu putem scăpa de recunoașterea drepturilor egale ale tuturor procedurilor de măsurare fără excepție. Și trebuie să învățați cum să lucrați cu rezultatele măsurătorilor pe care le oferă. Ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că fiecare observator trebuie să admită că seturile de scale se pot schimba atunci când se deplasează de la punct la punct în spațiu-timp. În consecință, și când se compară rezultatele măsurării unui obiect în diferite puncte, trebuie să se țină seama de faptul că nu numai obiectul însăși s-ar putea schimba, ci și scara. Conectivitatea afinară (liniară) este structura care descrie în mod explicit schimbarea potențială a scalei și vă permite să lucrați fără probleme în această situație.
Scara este reprezentată de un vector contravariant e i n. Indicele n de mai jos indică numărul scalei, nu componentele vectoriale. Să presupunem că trecerea la un vecin punct infinit de aproape, scara va fi diferită de valoarea sa de la punctul curent, în primul rând, aproximarea liniară în deplasarea dx j din punct de o cantitate anumită de I n. Ce înseamnă aproximarea liniară? Apropo, această apropiere este legată de definirea afinității. Aceasta înseamnă că este posibil să se scrie n relații pentru fiecare componentă i
În această formulă, prin indexul j, se face însumarea. În cazul nostru bidimensional
Mai mult, vom urma întotdeauna această convenție - dacă se vor repeta indiciile de mai jos și de mai sus din formulă, atunci se notează suma pe toate valorile indexului.
Simbolurile j> n denotă coeficienții în expansiunea descrisă mai sus.
Pe de altă parte, scalele de la punctul deplasat sunt, de asemenea, vectori de același fel. Iar valorile lor pot fi considerate ca urmare a acțiunii unor transformări asupra valorilor scalelor la punctul de plecare:
Această relație trebuie înțeleasă după cum urmează: modificările în scale ar trebui considerate proporționale cu scalele. Ie trebuie să urmăriți modificările relative ale scărilor. La urma urmei, scalele existente la un anumit punct sunt folosite pentru a măsura schimbările, altele nu. Prin urmare, variabilele independente sunt schimbări relative, nu cele absolute. În consecință, coeficienții introduși mai sus pot fi de asemenea scriși ca o convoluție cu vectorii cadrului (adică cu un set de scale).
De ce sunt aici să pun un minus spun mai târziu. Acum este o scuză - eu pun notația în sine, bine, e convenabil pentru mine, de ce nu? Înlocuim această relație pentru simbolurile j> n. Se pare
Notă, vectorul nu este în stânga! Și coeficienții Γ i jk nu sunt tensori! Acest lucru este foarte important. Și acum voi rescrie totul într-un alt mod.
Această egalitate este valabilă în orice sistem de coordonate, pentru orice alegere a scalelor. Și observați, acum vectorul este în stânga! Egal la zero prin definiție. De ce? Și în sistemul meu de coordonate, orice scală pe care o trag cu mine, prin definiție, coincide întotdeauna cu ea însăși! Se poate schimba pentru alții, dar pentru mine nu o face. Și ce am scris aici atât de complicat? Nimic special, pur și simplu a formalizat presupunerea despre variabilitatea scărilor, a înregistrat această posibilă schimbare în raport cu scalele în sine și, în prima aproximare, a fost proporțională cu deplasarea din punctul meu de vedere. În locul modificărilor în sine au fost introduse coeficienții Γ i jk. care în sistemul meu de coordonate va fi o funcție a unui punct și cu ajutorul lor puteți conecta rezultatele măsurării la punctele vecine (și în alte sisteme de coordonate, desigur, dar acești coeficienți vor fi și alte funcții). Acesta este motivul pentru care matematicienii au numit această structură o conexiune și C i jk coeficienții unei conexiuni afine (liniare în deplasare). De asemenea, vă puteți întâlni cu faptul că acestea sunt numite simbolurile lui Christoffel. Dar acest nume este folosit, de obicei, numai în cazul particular al spațiilor Riemannian.
În fine, subiectul acestui articol este în fața ta. Să discutăm acum ce putem mai spune despre conectivitate, în plus față de ceea ce sa spus deja. Și de ce este o structură atât de importantă pentru spațiul timpului.
Sensul fizic al conectivității este suficient de clar din însăși metoda de determinare a coeficienților de conectivitate. Acestea sunt rata schimbărilor relative ale obiectelor selectate în această procedură de măsurare ca unități în tranziția de la punct la punct în spațiul descris. Nu este un tensor, ci un obiect geometric mai general. Modul în care componentele sale se transformă în trecerea la alte sisteme de coordonate este extrem de important pentru matematică (și pentru fizică), dar aici nu trebuie să știm acest lucru. Este important doar să înțelegem că într-un alt sistem de coordonate coeficienții de conectivitate vor reprezenta, de asemenea, ratele schimbărilor relative ale obiectelor, dar altele, și anume cele care sunt unități în noua procedură de măsurare. Conectarea are un altul, mai familiar pentru fizicieni. Din punct de vedere al fizicii, conectivitatea nu este altceva decât un complex de potențiale ale unui singur câmp fizic. Dar acum nu mă voi concentra asupra acestui lucru. Voi vorbi mai mult despre ceea ce dă prezența conectivității matematicii (și, ca o consecință, și pentru fizică).
Spațiile în care este definită o conexiune affine la fiecare punct (coeficienții ei ca și funcții ale unui punct sunt date în unele sisteme de coordonate și, prin urmare, și în celelalte) sunt numite spații conexiune affine. Riemannian și, respectiv, spații euclidane sunt cazuri speciale de spații de conexiuni afine. Prezența conectivității face posibilă diferențierea și chiar integrarea acestora într-o manieră covariantică (adică cu rezultate consecvente pentru orice coordonate admisibile) cu tensori (cu rezultatele măsurătorilor obiectelor selectate). Rezultatele acestor operații sunt din nou tensorii, care sunt imagini matematice ale rezultatelor măsurătorilor obiectelor selectate. Astfel, rezultatele operațiilor pot fi, de asemenea, în concordanță cu unul sau alt obiect măsurat.
Cu ajutorul conexiunii afine se definește o operație de diferențiere covarianțială sau absolută a cantităților de tensori pe astfel de spații. Pentru a indica această operație, este utilizat simbolul D., spre deosebire de simbolul pentru diferența obișnuită d. Dar există o altă operație, strâns legată de aceasta, numită transferul paralel al vectorilor și al altor tensori de-a lungul curbei. Cel mai adesea conexiunea affine este introdusă de matematicieni tocmai cu ajutorul noțiunii de transfer paralel. În mod normal, nimic suplimentar nu apare, doar puțină schimbare a accentului prezentării. Am acordat atenție faptului că modificările componentelor scalei sunt măsurate de barele în sine. Dar același lucru poate fi exprimat ca o abatere a scalei în punctul vecin (aproape infinit) de la scara transferată de acolo paralelă cu ea însăși dintr-un anumit punct. Cuvintele „paralel cu ea însăși“ raportul De echivalent în = 0. medie este că, prin definiție, în sistemul de coordonate, toți vectorii de bază (unități sunt necesare și suficiente pentru a descrie spațiul) sunt transferate în paralel de-a lungul oricărei coordonate linie pornind de la un anumit punct . Adică, atunci când sunt deplasați dintr-un punct, vectorii de bază transferați acolo în paralel coincid cu acei existenți într-un punct nou. Această definiție poate fi de asemenea interpretată și invers - transferul paralel este un transfer în care vectorul transferat coincide cu cel existent în punctul în care este transferat. Componentele vectorului transferat sunt atribuite valorilor componentelor vectorului existent la punctul vecin. Definiția garantează o astfel de proprietate în orice sistem de coordonate numai pentru vectorii de bază. De asemenea, trebuie clarificat faptul că o linie de coordonate este o linie care pornește de la un punct la care unul dintre vectorii bazei este tangențial, adică o linie în direcția acestui vector. Dar, alți vectori existenți la un anumit punct nu trebuie neapărat să fie paralel de-a lungul unei astfel de linii în orice sistem de coordonate. Dar! Există un sistem de coordonate în care vectorul dat este transferat în paralel de-a lungul unei anumite linii (adică, diferența absolută D de-a lungul întregii linii este zero)! Acesta este sistemul de coordonate în care un vector dat (dacă acesta este contravariant, desigur) este unul dintre vectorii bazei, una dintre unitățile de măsură. Linia corespunzătoare este coordonată. După cum se înțelege din cele de mai sus, rezultatul transferului paralel al oricărui vector depinde de calea acestui transfer.
Vreau să subliniez una dintre cele mai importante proprietăți ale conectivității. Am inregistrat coeficientii ca rezultate ale masuratorilor schimbarilor scalurilor noastre cu aceeasi scala. Suna bine, dar cum se fac astfel de masuratori? La urma urmei, din punctul de vedere al existenței scalelor în sine, ele rămân în mod inevitabil identice cu ele însele în orice moment al existenței lor! Apropo, aceasta este exact ceea ce este scris de relația De i n = 0. În nici un caz nu am închis ochii față de această problemă. Ce înseamnă asta? Și iată ce. Da, într-adevăr, nu există nici un fel în mod corect, cu ajutorul unui set de scale de măsurare selectate pentru crearea imaginii curente a lumii în acest domeniu este de a stabili un fel de conectivitate în acest sistem de coordonate. Dar acest lucru nu este foarte important. Este suficient să recunoaștem și să luăm în considerare faptul că scările selectate pot varia de la un punct la altul. Da, în legătură cu aceasta, va exista un anumit grad de incertitudine în acest sens. Totuși, tot ceea ce privește relațiile dintre valorile măsurate va fi complet determinat. După cum înțelegeți, remarca se referă la descrierea cu ajutorul conectivității relațiilor în lumea reală. Și în lumea matematicii pure, care studiază pur și simplu ce oportunități îi oferă acestui instrument, nu există deloc o astfel de problemă. Noi credem că conectivitatea este dată, și asta este! Și știi ce e amuzant? Se pare că, dacă coeficienții de coerență din spațiu sunt cunoscuți ca funcții de coordonate, atunci totul este cunoscut despre un astfel de spațiu!
Da, bineînțeles, pentru a descrie acest "tot" a fost dezvoltat un aparat bogat, despre care voi spune doar câteva cuvinte aici. Deși conexiunea nu este un tensor, ci genereaza (din componentele conectate pot fi formate prin operații algebrice și / sau diferențierea), unele tensori foarte importante. Acestea includ tensorul de torsiune și tensorul de curbură. împreună cu convoluțiile lor. Îmi amintesc că acest lucru înseamnă că unele proprietăți de conectivitate pot fi obținute ca urmare a măsurătorilor obiectului. În continuare, clasificarea spațiilor începe în funcție de proprietățile lor - în astfel de condiții cineva obține ceva, în timp ce în altele este. În consecință, spațiile primesc nume - equiaffine. Riemannianul. afin. Euclidian ... euclidian familiar pentru tine cel mai bun. Care sunt ele caracteristice din punct de vedere al conectivității? Dar asta este. În primul rând, acestea sunt spații în care există seturi speciale de scale care sunt identice în toate punctele. Dacă alegem unul din aceste seturi de scale pentru a construi un sistem de coordonate în spațiu, atunci un astfel de sistem va acoperi întregul spațiu, iar coeficienții conexiunii afine în el vor fi peste tot egali cu zero! În al doilea rând, aceste scări permit, de asemenea, formarea unei metrice, care este, de asemenea, aceeași în toate punctele din spațiu! Asta este, în astfel de (și numai în astfel de!) Spațiu și posibilitatea de a avea unități "bune" de măsurare este realizat.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: