Calcularea rapidă a sinusurilor

Calcularea rapidă a sinusurilor

Totalizarea sinus ale căror argumente cuprind cota de cerc unitate de rază, nu o realizare astăzi, și a fost suficient de dezvoltată în urmă cu 1800 de ani de Ptolemeu. O procedură mai eficientă pentru calcularea Sines, comparativ cu built-in programe implementate de dezvoltatorii de calculator, pot fi învățate din experiența secolelor anterioare.







Ideea lui Ptolemeu trebuia să se schimbe de la o diviziune grosieră la o împărțire exactă a cercului. Din teoria poligoane regulate este cunoscut faptul că lungimea coardelor subîntins de arc cu unghiurile centrale de 60 și 12 °, respectiv, în cazul în care - lungimea coardei subîntinzând arcului cu un unghi central pentru circumferința unității rază. Conform teoremei elegante a lui Ptolemeu, lungimea coardei corespunzătoare diferenței dintre unghiurile centrale date poate fi obținută din relația

Conform valorilor cunoscute, Ptolemeu a putut astfel să evalueze, precum și lungimile coardelor pentru colțurile centrale, multiplii de 12 °. Tabelul rezultat este echivalent cu o tabelă formată din sines de unghi divizibil cu 6 °.

În conformitate cu teorema Ptolemeu prevede că pentru un patrulater de forma arbitrara (fig. 8.6), vârfurile din care se află pe un cerc cu centrul O, egalitatea Pentru patrulater având o formă dreptunghiulară, ca un caz special obține teorema lui Pitagora. Obținem teorema Ptolemeu pentru sine a diferenței de unghi.

Datele table pentru unghiul de 12 ° cu referire la notele adoptate în această carte corespund cazului. Pentru a trece la o defalcare mai mică a cercului, Ptolemeu a introdus o metodă echivalentă cu metoda de determinare a lungimii unui coardă,







Fig. 8.6. Teorema lui Ptolemeu: AC • BD = AB • CD + AD • BC.

strângerea jumătate a arcului:

care a cedat până la un unghi de 0,75 ° și multipli valorile corespunzătoare N = 480. Această metodă nu este adecvată pentru unghiuri care sunt multipli de 1 °. Cu toate acestea, Ptolemeu a procedat la inegalitate

Având în vedere faptul că este posibil să se deducă din sistem aceste două inegalități:

Având în vedere că diferența dintre dreapta și stânga laturile începe să iasă din a șasea zecimală, aceasta este o aproximare dur, dar este posibil să se mărească acuratețea calculelor, pentru a dezvolta metode de Ptolemeu.

O concluzie interesantă a corzii, formând un arc de 1 ° (sau), utilizarea în continuare a regulilor de divizare în două părți egale Ptolomeu permis să facă un tabel pentru lungimile de coardă intervalelor următoare prin 0,5 ° (sine - la fiecare 0,25 °), până la a cincea zecimală. Din moment ce acest tabel corespunde cu cazul, acesta îndeplinește cerințele programelor de calcul FFT utilizate în prezent.

Dacă compilarea unei tabele începe cu elemente, adică. la 0, următoarele intervale de 22,5 °, este posibil să se meargă la masa format din elementele următoare prin 11,25 °, prin calcularea sinusul fiecăreia dintre valorile intermediare ale argumentului 0 pe baza unor valori ale formulei funcției pentru diferența este de forma

Factorul de corecție poate fi obținut dintr-o formulă care determină lungimea coardei care contractează jumătate din arcul original; pentru această formulă, valoarea inițială este: Astfel:

Această formulă recursivă este utilizată în programul prezentat în apendicele 1.

Compilarea tabelului cosinus este o problemă separată. În secțiunea următoare, se va arăta că este recomandabil să aveți un tabel de valori. În prezența unui astfel de tabel, cosinusurile pot fi obținute din

Cu toate acestea, nu este nevoie de a pre-calcula cosinusul în mod explicit, după cum se poate utiliza în schimb tangenta jumătate de unghi, că este oportun să se efectueze în practică.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: