FRACTALE ȘI ECHIVA UNIVERSALĂ
Un fractal este o structură formată din părți care sunt într-un fel similari cu întregul. De obicei, aceste părți sunt reduse sau mărită infinit și reprezintă o copie redusă a întregului (cel puțin aproximativ).
Pe de altă parte, fractalul este o funcție - o expresie matematică care descrie această structură. Astfel, dobândirea unui nou fractal este indisolubil legată de obținerea unei expresii matematice corespunzătoare sau a unui sistem de expresii matematice.
De la apariția conceptului de "fractal", căutarea expresiilor matematice capabile să precizeze diferite fractale a fost urmărită în mod activ. Prin urmare, verificarea ecuației universale pentru capacitatea de a seta fractalii este complet logică.
O ecuație universală este o expresie matematică a formei: y = [x / a] * [a / x]. unde [] este semnul care denotă întreaga parte a numărului (și mai departe în textul articolului). Prin introducerea diverselor adiții și transformări în ecuația universală, este practic posibil să se obțină un număr infinit de ecuații derivate care descriu o mare varietate de obiecte.
Ecuația universală în forma ei elementară constă în două funcții: [x / a] și [a / x]. Dacă te uiți la graficul unei funcții similare de mai jos, poți vedea că aceste funcții sunt fractale.
Într-adevăr, orice parte a acestui grafic este similară cu întreaga grafică, precum și cu alte părți ale acesteia, iar mărimile acestor părți cresc treptat, ceea ce este tipic pentru fractali. Aceste funcții elementare pot servi ca bază pentru obținerea de fracturi mai complexe, de exemplu, prezentate în figura de mai jos:
Și, folosind ecuația universală, este posibil să obținem o ecuație care să precizeze un fel de fractal - baza pentru obținerea celorlalte fractale cele mai diverse:
unde P este un număr (poate o funcție) care determină proprietățile de bază ale fractalului. Fragmentul graficului din ecuația (1) este dat mai jos:
Fiecare punct al acestui grafic poate servi ca un "inițiator" pentru plotarea unei funcții, care poate avea ca rezultat o varietate de fracturi. De exemplu, cum ar fi următoarele:
Astfel, folosirea ecuației universale pentru specificarea fractalului vă permite să obțineți fractale diferite de cele deja cunoscute. În plus, principiile construirii fractalelor bazate pe ecuația universală diferă de cele utilizate în mod tradițional. Pentru a specifica fractalii, se folosesc funcțiile implicite și capacitatea ecuației universale de a preciza funcțiile periodice non-staționare. Orice fragment al unui fractal poate fi construit fără construirea sau calcularea fragmentelor anterioare.
Mai mult, ca exemple, sunt date un șir de fractale, date cu ajutorul ecuației universale.
Figura de mai jos prezintă un fragment al fractalului reprezentând proiecția graficului de ecuații pe planul xxy:
Același fractal este interesant în versiunea tridimensională:
Acoperirea acestui fractal și a altora în acest articol este făcută în mod artificial și nu are nimic de-a face cu modul în care sunt atribuite.
Figura de mai jos prezintă un fragment al fractalului, care este o cutie infinită, constând în scăderea constantă a celulelor de mărime, construită în conformitate cu formula:
Pentru a înțelege mai bine "aranjamentul" acestui fractal, puteți vedea un program special pentru construirea unei "casete" fractale.
Figura de mai jos arată o porțiune a unui fractal este o latice infinită perspectivă constând în continuă scădere în mărime de celule construite în conformitate cu formula:
Pentru a înțelege mai bine "aranjamentul" acestui fractal, puteți vedea un program special pentru construirea fractalului "volum".
În ecuațiile (3) și (4), parametrii sunt calculați prin formulele:
unde P este un număr (poate o funcție) care definește proprietățile de bază ale "cadrului" fractal și al "latticei de volum".
Dacă în funcțiile specificate cu ajutorul ecuației universale care definesc fractali, schimbând aleatoriu parametrii, se pot obține fractali stochastice. Exemple de astfel de fractali sunt fractalii "frunze căzute" și "flori".
Este interesant faptul că sistemele de ecuații care definesc fractalii "frunze căzute" și "flori" diferă foarte puțin unele de altele.
Pentru a observa construirea fractalului "frunze căzute" și "flori" la schimbarea parametrilor originali poate fi folosit un program special.
Se știe că ecuația universală în forma ei elementară pe grafic definește un punct, iar suma acestor ecuații este suma punctelor, respectiv. Pe de altă parte, dacă luați orice fractală și să înceapă pe termen nelimitat pentru a reduce o parte din același tip, componentele sale, atunci nu contează cât de complex piesele sunt, ele degenera treptat, până la un punct. Astfel, putem spune că un fractal universal trebuie să reprezinte grafic un set de puncte și poate fi specificat de suma ecuațiilor universale. Mai mult, valoarea acestor ecuații va fi, în general fără sfârșit, ca și în prezentarea oricărui obiect sub forma unui fractal, format din puncte teoretic puncte existente ce constituie obiectul poate permite un număr infinit de puncte noi, cu o creștere corespunzătoare a densității (densitatea) plasarea punctelor în spațiu.
Uita-te la aceste fractali pe figuri statice lipsite de sens, după cum se va vedea doar obiectul în sine, reprezentat de un fractal, și componentele fractale ale - nu există nici un punct. Prin urmare, pentru a înțelege modul în care sunt construite astfel de "fractale universale", vă recomand să descărcați și să executați programe speciale: "Structura poroasă" și "Cupa meciurilor". Ca rezultat al acestor programe, va fi posibil să se respecte construcția punctuală a fractalului sub forma unui fel de animație. „Structura poroasa“ construi un prim obiect tridimensional „format“ puncte mari, și apoi același obiect, dar „format“ un număr mare de puncte mai mici, cu apariția de detalii mai mici ale unui obiect, care este caracteristică fractalilor corespunzătoare. Programul "Cupa de meciuri" construiește o coloană de meciuri într-o formă realistă, bineînțeles cu un amendament la lipsa de anti-aliat. Allisinga fenomen nu este cu siguranță o caracteristică universală a ecuației, dar imaginea de ieșire, trebuie să folosim un monitor convențional, care în mod eficient „stoarce“, cu denaturarea corespunzătoare calculării coordonatelor punctelor de pe ecuația universală a matricei monitorului.
Când lucrați cu programe, puteți observa, de asemenea, că construcțiile 3D de pe ecran diferă de grafica obișnuită 3D. Grafica 3D obișnuită oferă numai construcția de suprafețe de obiecte, iar fractale bazate pe ecuații universale, toate volumul ocupat de obiect, inclusiv interiorul acestuia. Această circumstanță este foarte importantă dacă se presupune că fractalul va fi folosit mai târziu pentru a efectua orice operațiune cu acesta, de exemplu, efectuând calcule de rezistență.
În plus, animația afișată sub formă de fractal cu programul "Match Hill" sub forma unui fractal împreună cu programul de redare a animațiilor durează 11,7 MB. Acest lucru este în ciuda faptului că programul demonstrează de fapt în cursul construirii unui fractal de 246720 de cadre de animație diferite. Dacă o astfel de animație ar fi creată, de exemplu, în formatul gif. apoi cu dimensiunea medie a unui cadru în formatul gif de 9,4 kb, întreaga animație ar avea 2319 MB sau ar fi mai mult decât un fractal de 198 de ori.
Trimiteți-le prietenilor: