Când lucrăm în aritmetică modulară, adesea trebuie să găsim o operație care ne permite să calculam inversul unui număr dat. Căutăm, de obicei, inversarea aditivă (operatorul inversat la adunare) sau inversarea multiplicativă (operatorul inversat pentru multiplicare).
Inversiunea aditivilor
În Zn, două numere a și b sunt aditive unul la altul dacă b = n - a. De exemplu,
În Zn, inversarea aditivului la numărul a poate fi calculată ca b = n - a. De exemplu, inversarea aditivului 4 în Z10 este 10-4 = 6.
În aritmetica modulară, fiecare număr întreg are o inversiune aditivă. Suma întregului și inversarea aditivului său este comparabilă cu 0 modulo n.
Rețineți că în aritmetica modulară, fiecare număr are o inversiune aditivă, iar această inversiune este unică; fiecare număr are o singură inversiune aditivă. Cu toate acestea, inversarea unui număr poate fi în mod direct același număr.
Găsiți toate perechile inverse reciproce prin adăugarea în Z10.
Sunt date șase perechi de inversiuni aditive (0, 0). (1, 9). (2, 8). (3, 7). (4, 6) și (5, 5). În această listă, 0 este o inversiune în sine; astfel încât, de asemenea, 5. Notă: inversele aditivilor sunt inverse între ele; dacă 4 este inversiunea aditivului 6, atunci 6 este și inversarea aditivului la numărul 4.
Inversiune multiplicativă
În Zn, cele două numere a și b sunt multiplicativ inversive, dacă
De exemplu, dacă modulul este 10. atunci inversarea multiplicativă 3 este 7. Cu alte cuvinte, avem.
În aritmetica modulară, un întreg poate sau nu poate avea o inversare multiplicativă. Integerul și inversarea lui multiplicativă sunt comparabile cu 1 modulo n.
Se poate arăta că a are o inversare multiplicativă în Zn. dacă numai GCD (n, a) = 1. În acest caz, spunem că a și n sunt relativ prime.
Găsiți inversarea multiplicativă a lui 8 în Z10.
, ceea ce înseamnă absența numărului 12 al inversiunii multiplicative în Z26
Adăugarea și multiplicarea tabelelor
Figura 2.16 prezintă două tabele pentru adăugare și multiplicare. Când adăugați tabele, fiecare număr întreg are o inversiune aditivă. Perechile inversate pot fi găsite dacă rezultatul adăugării acestora este zero. Avem (0, 0). (1, 9). (2, 8). (3, 7). (4, 6) și (5, 5). La multiplicarea tabelelor, primim doar trei perechi multiplicative (1, 1). (3, 7) și (9, 9). Perechile pot fi găsite atunci când rezultatul multiplicării este 1. Ambele tabele sunt simetrice de-a lungul diagonalei, de la vârful stâng la cel de jos din dreapta. În acest caz, putem găsi proprietăți de comutație pentru adăugare și multiplicare (a + b = b + a și). Tabela de adăugare arată, de asemenea, că fiecare rând sau coloană se poate schimba cu un alt rând sau cu o altă coloană. Pentru tabelul de multiplicare acest lucru nu este adevărat.
Fig. 2.16. Tabele de adăugare și multiplicare pentru Z10
Seturi diferite pentru adăugare și multiplicare
În criptografie, lucrăm adesea cu inversiuni. În cazul în care expeditorul trimite un număr întreg (de exemplu, o cheie de criptare pentru cuvântul), receptorul se aplică inversul unui număr întreg (de exemplu, o cheie de decodare). Dacă această acțiune (criptare / algoritm de decodare) este plus, o multitudine de Zn poate fi folosit ca setul de chei posibile, deoarece fiecare întreg din setul are aditivă inversiune. Pe de altă parte, în cazul în care operațiunea (algoritm de criptare / decodare) - multiplicare, Zn nu poate fi un set de chei posibile, deoarece numai unii membri ai setului au un invers multiplicativ. Avem nevoie de un alt set care este un subset al lui Zn și include numai numere întregi, iar în Zn au o inversare multiplicativă unică. Acest set este notat cu Zn *. Figura 2.17 prezintă câteva cazuri de două seturi. Rețineți că setul Zn * poate fi obținut din tabelul de multiplicare de tipul prezentat în Fig. 2.16.
Fiecare termen al lui Zn are o inversiune aditivă, dar numai câțiva termeni au o inversare multiplicativă. Fiecare termen al lui Zn * are o inversiune multiplicatoare, dar numai unii membri ai setului au o inversiune aditivă.
Trebuie să folosim Zn când sunt necesare inversiuni aditive; Trebuie să folosim Zn * atunci când sunt necesare inversiuni multiplicative.
Fig. 2.17. Unele seturi Zn și Zn *
Două seturi suplimentare
Criptografia folosește adesea două seturi: Zp. și Zp *. Modulele din aceste două seturi sunt numere prime. Numerele simple vor fi discutate în următoarele cursuri; în timp ce putem spune că un număr prime are doar doi divizori: un întreg 1 și el însuși.
Setul Zp este același cu Zn. cu excepția faptului că n este un număr prime. Zp conține toate numerele întregi de la 0 la p - 1. Fiecare element din Zp are o inversiune aditivă; fiecare element, cu excepția lui 0, are o inversare multiplicativă.
Setul Zp * este același cu Zn *. cu excepția faptului că Zp * conține toate numerele întregi de la 1 la p - 1. Fiecare element din Zp are inversiuni aditive și multiplicative. Zp * este un candidat foarte bun când avem nevoie de un set care să susțină inversări aditive și multiplicative.
Două seturi sunt prezentate mai jos, când p = 13.
Bine ai venit! Aș dori să clarifică următoarea întrebare: Aprobarea de stat suspendată de către MIP și când va fi restabilită, nu se cunoaște, iar diploma de pregătire profesională este eliberată pe baza MIT (așa cum am înțeles-o). Cum va funcționa cu obținerea unei diplome?
Întrebarea este un important și relevant, deoarece aceasta este o nevoie urgentă de un curs de formare și de a obține un grad și nu doresc să-și petreacă timp și bani pentru a plăti pentru nimic (în cazul în care certificatul nu este valabil, etc.). Vă rugăm să explicați mai mult situația.
Bună ziua, aș dori să clarifice în viitor pe care doriți să se alinieze acest program cu autoritățile de reglementare și dacă certificatul în sine va avea loc într-un moment în care standardele sunt introduse prof?
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: