Cosinul sumelor și diferența dintre două unghiuri
În această secțiune se vor demonstra următoarele două formule:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Cosinul sumei (diferenței) a două unghiuri este egal cu produsul cosinilor acestor unghiuri minus (plus) produsul sinusurilor acestor unghiuri.
Va fi mai convenabil să începeți cu dovada (2). Pentru simplitatea expunerii, presupunem mai întâi că unghiurile α și β satisfac următoarele condiții:
1) fiecare dintre aceste unghiuri este ne-negativ și mai mic de 2π:
Fie partea pozitivă a axei 0x partea comună inițială a unghiurilor α și β.
Indicăm laturile finale ale acestor unghiuri cu 0A și respectiv 0B. Evident, unghiul α-β poate fi considerat drept unghiul la care raza 0B trebuie rotită în jurul punctului 0 în sens invers acelor de ceasornic, astfel încât direcția să coincidă cu direcția razei OA.
Pe razele 0A și 0B, marchează punctele M și N, care se află la o distanță 1 de la originea 0, astfel încât 0M = 0N = 1.
Într-un sistem de coordonate x0y, punctul M are coordonate (cos α, sin α), iar punctul N este coordonata (cos β, sin β). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:
d1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2 sin sin sin β + sin 2 β = 2 (1 - cos α cos β - sin α sin β).
În calcule am folosit identitatea
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Acum, luați în considerare un alt sistem de coordonate B0C, care se obține prin rotirea axelor 0x și 0y în jurul punctului 0 în sens contrar acelor de ceasornic cu unghiul β.
În acest sistem de coordonate, punctul M are coordonate (cos (α - β), sin (α - β)) și coordonatele punctelor N (1,0). Prin urmare, pătratul distanței dintre ele este:
d2 2 = [cos (α-β) -1] 2 + [sin (α- β) -0] 2 = cos 2 (α-β)
+ sin 2 (α-β) = 2 [1-cos (α-β)].
Dar distanța dintre punctele M și N nu depinde de sistemul de coordonate relativ pe care îl considerăm aceste puncte. prin urmare
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 [1 cos (α - β)].
Aceasta implică formula (2).
Acum ar trebui să ne amintim cele două limitări pe care le-am impus din motive de simplitate a prezentării la unghiurile α și β.
Cerința ca fiecare dintre unghiurile α și β să fie nonnegative nu este de fapt esențială. La urma urmei, la oricare dintre aceste unghiuri, puteți adăuga un unghi multiplu de 2π, care nu afectează validitatea formulei (2). În mod similar, din fiecare dintre aceste unghiuri, un unghi multiplu de 2π poate fi scăzut. Prin urmare, putem presupune că 0 <α <2π. 0 <β <2π .
Condiția α> β nu este, de asemenea, esențială. Într-adevăr, dacă a <β. то β>α; prin urmare, luând în considerare paritatea funcției cos x. obținem:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
care coincide esențial cu formula (2). Astfel, formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
este adevărat pentru orice unghi α și β. În special, înlocuind β cu -β în ea și ținând seama de faptul că funcția cosx este uniformă și funcția sinx este ciudată, obținem:
cos (α + β) = cos [α - (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
care demonstrează formula (1).
Astfel, se demonstrează formulele (1) și (2).
1) cos 75 ° = cos (30 ° + 45 °) = cos 30 °; cos 45 ° -s 30 ° -s 45 ° =
2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° • cos 30 ° + sin 45 ° • sin 30 ° =
1. Calculați, fără a utiliza mesele trigonometrice:
a) cos 17 ° • cos 43 ° - sin 17 ° • sin 43 °;
b) păcat 3 ° • sin 42 ° - cos 39 ° • cos 42 °;
c) cos 29 ° • cos 74 ° + sin 29 ° • sin 74 °;
d) sin 97 ° • sin 37 ° + cos 37 ° • cos 97 °;
b). cos (36 ° + α) • cos (24 ° - α) + sin (36 ° + α) • păcat (α - 24 °).
d) cos 2α + tan α • sin 2α.
a) cos (α - β). dacă
90 ° <α <180°, 180° <β <270°;
4. Find cos (α + β) și cos (α-β) dacă se știe că sin α = 7/25. cos β = - 5/13 și ambele unghiuri (α și β) se termină în același trimestru.
c). cos [arctg 1/2 + arccos (-2)]
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: