În pătratul magic 3x3, constanta magică 15 ar trebui să fie egală cu suma a trei numere în 8 direcții: 3 rânduri, 3 coloane și 2 diagonale. Deoarece numărul din centru aparține unui rând, unei coloane și a două diagonale, acesta intră în 4 din cele 8 triple, care împreună dau o constantă magică. Un astfel de număr este doar unul: este 5. Prin urmare, numărul care stă în centrul pătratului magic 3x3 este deja cunoscut: este egal cu 5.
Luați în considerare numărul 9. Se introduce numai 2 triple de numere. Nu o putem plasa într-un colț, deoarece fiecare celulă de colț aparține a 3 tripleți: rând, coloană și diagonală. Prin urmare, numărul 9 trebuie să fie într-o celulă adiacentă lateralei pătratului din mijlocul acestuia. Din cauza simetriei pătratului, nu contează ce parte alegem, așa că scriem 9 peste numărul 5 din celula centrală. Pe ambele laturi ale liniei de nouă, putem introduce numerele 2 și 4. Care dintre cele două cifre se află în colțul din dreapta sus și care din stânga nu mai contează, deoarece un aranjament al numerelor se duce la celălalt într-o imagine oglindă . Celulele rămase se umple automat. Construcția noastră simplă a pătratului magic 3x3 demonstrează unicitatea sa.
O astfel de piață magică a fost un simbol vechi chinezesc de mare importanță. Figura 5 în mijloc a însemnat pământul, iar în jurul acestuia în echilibru stricte s-au loc foc (2 și 7), apă (1 și 6), lemn (3 și 8), metal (4 și 9).
Deoarece dimensiunea pătratului (numărul de celule) crește, numărul de posibile magiciene de această mărime crește rapid. Există 880 de pătrate magice de ordinul a 4 și 275 305 224 de pătrate magice de ordinul 5. Și, 5x5 pătrate au fost cunoscute înapoi în Evul Mediu. Musulmanii, de exemplu, erau foarte respectabili față de o astfel de piață, cu numărul 1 în mijloc, considerând-o un simbol al unității lui Allah.
1.2.Magichesky pătrat - origine chineză antică. Conform legendei, în timpul domniei împăratului Yu (c. 2200 î.Hr.) a râului Galben apă (Fluviul Galben) a apărut carapace de broască țestoasă sacru pe care erau scrise hieroglifele misterioase (Fig. 1a), iar aceste semne sunt cunoscute sub denumirea Lo-shu și sunt echivalente cu pătratul magic prezentat în Fig. 1, b. În secolul al XI-lea. despre pătratele magice găsite în India și apoi în Japonia, unde în secolul al XVI-lea. Pătratele magice au fost consacrate literaturii extinse. Europenii cu piețe magice introduse în secolul al XV-lea. Scriitorul bizantin E.Moshopoulos. Primul pătrat inventat european considerat pătrat Durer (Fig. 2), reprezentat în celebrul său Melancholia gravură 1. gravuri stabilite (1514) conține numărul din cele două celule centrale ale șirului inferior. Pătratele magice au atribuit diferite proprietăți mistice. În secolul al XVI-lea. Cornelius Heinrich Agrippa construit pătrate 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9-lea ordinele care au fost asociate cu astrologia 7 planete. Se credea că pătratul de argint gravat pe argint protejează împotriva ciumei.
În secolele 19 și 20. interesul în patratele magice a izbucnit cu vigoarea reînnoită. Ei au început să investigheze folosind metode de algebră mai mare.
Singurul pătrat magic magic este 3 × 3. A fost cunoscută în China antică, prima imagine pe o cochilie de broască țestoasă datată în anul 2200 î.Hr.
Matematicienii moderni numesc aceste pătrate "perfecte". Deci, "perfect" și "diabolic" pentru matematicienii moderni - sinonime!
Dar există un alt MK nu mai puțin interesant decât cel diabolic. Remarcabil american francmason, un savant, figură publică și diplomat Benjamin Franklin a fost un pătrat de 16 x 16, care, în plus față de prezența unei cantități constante în 2056 în toate rânduri, coloane și diagonalele are o proprietate suplimentară. Dacă tăiați dintr-o foaie de hârtie pătrat 4 × 4 și așezați foaia pe un pătrat mare, astfel încât 16 mai multe celule pătrate se încadrează în acest slot, suma numerelor care au apărut în acest spațiu, indiferent unde nu pune, nu va fi unul și același - 2056.
Acest pătrat este cea mai magică magică a tuturor MC-urilor create vreodată de vreun magician.
1.4. Piața magică a lui Yang Hui (China). În secolul al XIII-lea. matematicianul Yang Hui a abordat problema metodelor de construire a patratelor magice. Cercetarea sa a fost apoi continuată de alți matematicieni chinezi. Yang Hui a considerat pătrunderea magică a nu numai a treia, ci și a ordinelor mai mari. Unele dintre pătratele sale erau destul de complexe, dar el a dat mereu regulile pentru construcția lor. El a reușit să construiască un pătrat magice de ordinul al șaselea, acesta din urmă fiind aproape asociativ (în el doar două perechi de numere din centru nu dau suma de 37):
Suma numerelor în orice orizontală, verticală și diagonală egală cu 34. Această sumă se regăsește în toate colțurile pătrat 2 x 2 într-un pătrat centrală (10 + 11 + 6 + 7), pătrat celulelor de colț (16 + 13 + 4 + 1 ) în pătrate construite "calul leagăn" (2 + 8 + 9 + 15 și 3 + 5 + 12 + 14), în dreptunghiurile formate din perechile de celule secundare pe laturile opuse ale (3 + 2 + 15 + 14 și 5 + 8 + 9 + 12). Majoritatea simetriilor suplimentare se datorează faptului că suma a două numere centralizate aranjate simetric este de 17.
1.5. Pătraturile lui Henry E. Dyudeni și Allan W. Johnson-Jr.
Dacă matricea pătrată n × n nu este strict un număr natural de numere, atunci acest pătrat magic este neconvențional. Mai jos sunt două pătrate magice, pline de numere prime. Primul are ordinul n = 3 (Piața Dyudeni); Al doilea (dimensiunea 4x4) este pătratul Johnson. Ambele au fost dezvoltate la începutul secolului al XX-lea:
Există mai multe astfel de exemple:
Ultimul pătrat, construit în 1913 Dzh.N.Mansi, este remarcabil prin aceea că acesta este compus din 143 de numere prime consecutive, cu excepția a două lucruri: unitatea în cauză, care nu este un număr prim, și nu sunt folosite doar un prim chiar numărul 2.
În 1917, frontul franco-german, fruntașul Franz Buhl, angajarea în jefuirea pe câmpul de luptă, găsit în buzunarul unui soldat fâșie lungă hindus de ucis hârtie groasă, care a fost pictat cu un pătrat împărțit în celule umplute cu scrierea arabă. El a dat această bandă unui profesor german care a fost angajat în pătrate magice. Cel mai probabil, banda conținea un talisman care nu ia salvat pe proprietar de la moarte.
După traducerea din limba arabă, s-a dovedit că documentul conține un patrat magic și un patrat semi-magic de ordinul patru. Într-o pătrată de 4 × 4, numerele se repetă și sumele diagonalelor nu coincid cu constanta:
Apoi a urmat o listă de vrăji, nume de zei și demoni, pe care profesorul le-a rupt și le-a distrus.
CAPITOLUL II. Terminologia de bază
Fiecare element al pătratului magic este numit celulă. Un pătrat a cărui latură constă din celule n conține celule n 2 și se numește pătrat al ordinului n.
În cele mai multe pătrate magice, se folosesc primele n numere naturale consecutive. Suma numerelor S din fiecare rând, fiecare coloană și pe orice diagonală, se numește constanta pătratului și este egală cu S = n (n 2 + 1) / 2. Se demonstrează că n ≥ 3. Dependența constantei pătratului la ordinea sa poate fi urmărită folosind tabelul.
Două diagonale care trec prin centrul pătratului sunt denumite diagonalele principale.
O linie întreruptă este o diagonală, care, ajungând la marginea pătratului, continuă paralel cu primul segment de la marginea opusă (o astfel de diagonală este formată de celulele umbrite din figură.
Celulele care sunt simetrice în jurul centrului unui pătrat sunt numite oblic-simetrice. Acestea sunt, de exemplu, celulele a și b.
Capitolul III. Modalități de a umple pătratele magice
Pătratele magice de ordin ciudat pot fi construite folosind metoda geometrului francez al secolului al XVII-lea. A. de la Lubera (metoda siameză). Luați în considerare această metodă utilizând exemplul unui pătrat al ordinului 5 (figura 4). Numărul 1 este plasat în celula centrală a rândului de sus. Toate numerele naturale sunt aranjate într-o ordine naturală ciclic de jos în sus în diagonalele celulelor de la dreapta la stânga. După ce ajungem la marginea superioară a pătratului, continuăm să umplem diagonala, pornind de la celula de jos a coloanei următoare (de-a lungul diagonalei sparte). După ce ajungem la marginea dreaptă a pătratului, continuăm să umplem diagonala, mergând din celula din stânga la linia de mai sus. După ce a atins celula sau colțul umplut, traiectoria coboară o celulă în jos, după care procesul de umplere continuă.
Pentru a facilita umplerea pătratului prin această metodă, și anume, determinarea locației următoarei celule, după marginea pătratului, putem folosi următoarea schemă
Puneți 1 în celula de mijloc a rândului superior și continuați secvența diagonală spre dreapta. Dacă numărul următor de pe diagonală depășește limitele pătratului, îl rearanjăm în câmpul corespunzător într-un pătrat.
Studiind diverse surse, am acordat atenție faptului că puteți umple pătrate în cealaltă direcție și nu neapărat 1 stă în această poziție.
3.2. Metoda F. De la Il (1640-1718) se bazează pe două pătrate inițiale. În Fig. 5 arată cum să folosească această metodă de construcție pătrat de ordine 5. Prima celulă a unui pătrat în formă de la 1 la 5, astfel încât numărul de repetiții în celulele 3 ale diagonalei principale se extinde spre dreapta sus, și nici un număr este găsit de două ori într-un rând sau într-o singură coloană. Același lucru efectuam cu numerele 0, 5, 10, 15, 20, singura diferență este că numărul 10 este acum repetată în celulele diagonalei principale, mergând de sus în jos (Fig. 5b). Suma întreagă celulă din cele două pătrate (Fig. 5, c) formează un pătrat magic. Această metodă este folosită în construcția de pătrate de ordine, chiar.
După ce am analizat acest model de umplere din desen, am ajuns la următorul algoritm.
1. În primul pătrat, plasați numerele de la 1 la n (ordinea pătratului), astfel încât pe diagonala laterală există un element mediu al acestei secvențe.
2. Toate celelalte elemente sunt paralele cu această diagonală de-a lungul diagonalelor sparte. Elementele de pe diagonala spart sunt egale.
3. În al doilea rând la pătrat multipli succesive de ordin pătrat, începând cu 0 (numărul de elemente egal cu ordinul unui pătrat), astfel încât elementul de mijloc principal diagonal permanent al acestei secvențe.
4. Toate celelalte elemente sunt paralele cu această diagonală de-a lungul diagonalelor sparte. Elementele de pe diagonala spart sunt egale.
2.3. Finisare până la o simetrie
în formă de diamant
Figura obținută în etapa 1 este umplută în rânduri oblice dinspre partea de sus în sus spre dreapta cu întregi de la 1 la n2 succesiv. Rezultatul umplerii este prezentat în figura următoare:
Capitolul 4. Modalități de completare a pătratelor magice
de ordinul unui multiplu de patru
Metodele universale de compilare a pătratelor magice ale unei ordini arbitrare sunt încă necunoscute. Cu toate acestea, s-au elaborat abordări individuale pentru diferite cazuri speciale. Următoarele descrie metoda de preparare a pătratelor magice, ordinul unui multiplu de 4. Această metodă este convenabil să ia în considerare exemplul pătrat magic ordine 8 numere naturale de la 1 la 64. Metoda cuprinde următoarele etape.
Pătratul este colorat în două culori și apoi umplut - urmați aranjamentul numerelor consecutive 1, 2, 3, 4, 5.
1. Pătratul original este împărțit la numărul corespunzător de pătrate de ordin 4. În acest caz, vor exista 4 astfel de pătrate. În fiecare sub-pătrat, elementele diagonale (principale și laterale) sunt pictate peste.
2. Elementele rămase sunt umplute rând de rânduri întregi ordinale de la stânga și sus -napravo unui completat down -nalevo celule și dreapta și de jos în sus nu un celule umplute.
3. Trecerea de la culori la umplere apare dacă următoarea celulă care trebuie umplută schimbă culoarea
Capitolul 5. Utilizarea pătratelor magice.
Sfera tradițională de aplicare a MK sunt talismani. (O listă completă a talismanelor planetare poate fi găsită în monografia lui A.Sanarov "Magic of Talismans: Un ghid practic").
De exemplu, talismanul lunii are anumite proprietăți: protejează de naufragiu și boală, face un fel de persoană, ajută la prevenirea intențiilor rele și, de asemenea, consolidează sănătatea. Este gravată pe argint în ziua și ora Lunii, când Soarele sau Luna sunt în primele zece grade ale Cancerului. Piața magică din clasa a IX-a se încadrează în colțul din nouă (9 este numărul lunii, vezi mai jos) și este înconjurat de simboluri speciale.
Cu toate acestea, există și un pătrat magic pentru elementele și semnele zodiacului. Găsiți ordinea de pătrat magie dorit va ajuta Liber 777 Aleister Crowley, care stabilește următoarea corespondență:
Tema piețelor matematice este una din secțiunile tradiționale ale matematicii de divertisment, reprezentând cititorul curios, ambele construcții frumoase și probleme grave nerezolvate.
În lucrarea mea, sunt luate în considerare întrebări legate de istoria dezvoltării uneia dintre întrebările de matematică, care au ocupat mințile atâtor oameni grozavi - pătrate magice -. În ciuda faptului că pătratele magice reale nu sunt utilizate pe scară largă în domeniul științei și tehnologiei, acestea se solicită clase de matematică mulți oameni de excepție și a contribuit la dezvoltarea altor secțiuni de matematică (teoria grupurilor, determinanți, matrice etc.).
Am tras concluziile următoare:
1. Nu există multe metode de a umple pătrate magice
2. Pe măsură ce mărimea pătratului crește, numărul de patrate magice posibile crește rapid. De exemplu, pentru comanda a treia - singura pentru 4 - 880, pentru 5 - este aproape un sfert de milion.
Este greu să înțelegi muzica clasică fără pregătire. Nu este ușor să percepeți o pictura abstractă fără a avea o idee despre legile ei. Același lucru se poate spune despre modelele numerice.
Frumusețea uimitoare, cu adevărat, magică, conținută în patratele magice, atrage mințile cele mai bune ale omenirii de milenii. Pentru a înțelege că nu este dată toată lumea, dar odată ce ați realizat armonie și rigoare nemiloasă a numerelor legate de legăturile de magie, puteți obține o mare plăcere.
Resurse și literatură de pe Internet utilizate
1. E. Ignatov "În domeniul savvylor", M. "Nauka", 1979.
2. I.Ya. Depman, N.Ya. Vilenkin. În spatele paginilor din manualul de matematică.
3. Moscova. Educație. 1989.
5. Postnikov M.M. "Magic Squares" - M. Nauka, 1964.
7. Dicționarul enciclopedic al unui tânăr matematician. M. "Pedagogie", 1989.
Am compilat problemele pe tema "Magic Squares" pentru rezolvarea unui curs special în matematică.
Sarcina 3. Aranja 16 scrisori
Într-un pătrat format din 16 celule, aranja
16 litere (4 litere a, 4 litere b, 4 litere c, 4 litere d)
astfel încât în fiecare rând orizontal și vertical orice literă să fie întâlnită o singură dată.
Problema 4. Pentru a aranja 9 numere
Într-un pătrat format din 9 celule, aranjați numerele 1,2,3,4,5,6,7,8,9 astfel încât sumele numerelor în fiecare rând vertical, orizontal și, de asemenea, pe orice diagonală să fie egale.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: