În rezolvarea ecuațiilor algebrice, este adesea necesar să se împartă diferite polinoame în polinoame de gradul I (binomial de gradul I). Din acest motiv, analizăm mai detaliat situația când un polinom arbitrar a (x). al cărui grad este diferit de zero, este divizibil printr-un binomial al formei
unde α este orice număr.
Divizarea polinomului a (x) prin polinomul x - α cu restul înseamnă că pentru toate valorile lui x egalitatea
unde polinomul c (x) este un coeficient, iar polinomul r (x) este restul, iar gradul restului satisface inegalitatea:
Rezultă că gradul restului r (x) este 0 și deoarece polinomul al cărui grad este 0 este un număr, atunci
unde r este un număr. Astfel, identitatea
valabil pentru toate valorile variabilei x și, prin urmare, pentru valoarea lui x egală cu α.
Dacă acum numărul α este înlocuit cu variabila x în această identitate. atunci obținem o egalitate a formei:
Aceasta dovedește următoarea afirmație.
Aprobarea. Restul diviziunii a (x) polinomul de x aleatoare binomială - α este o valoare care are un polinom o (x) la x = α.
Teorema Bezout. Polinomul a (x) este divizibil de binomul x - α. dacă și numai dacă numărul α este o rădăcină a polinomului a (x).
Dovada. În cazul în care numărul α este o rădăcină a polinomului a (x), egalitatea deține:
În același timp, așa cum sa dovedit anterior, egalitatea deține:
Astfel, restul de divizare a polinomului a (x) de x binomială - α este zero dacă și numai dacă numărul a este o rădăcină a unui polinom a (x). În consecință, polinomul a (x) este egal divizibil cu x binomială - a, dacă și numai dacă α este rădăcina polinomului a (x). După cum este necesar pentru a dovedi.
Corolar 1. Fie n un număr natural și α un număr arbitrar, apoi binomial
este împărțit într-un binomial
Corolarul 2. Fie m orice număr natural și α un număr arbitrar, apoi binomul
este împărțit într-un binomial
Corolarul 3. Fie m orice număr natural și α un număr arbitrar, apoi binomul
este împărțit într-un binomial
Notă. Dovada tuturor celor trei corolari rezultă ușor din teorema lui Bezout.
Un exemplu. Găsiți restul diviziunii polinomiale
Soluția. Pentru a găsi restul dorit din divizare, găsim valoarea polinomului în acest punct
După efectuarea calculelor necesare, obținem:
7 (- 2) 10 - 3 (- 2) 6 + 4 (- 2) 3 + 8 = 6952.
Pe site-ul nostru puteți să vă familiarizați și cu materialele de instruire elaborate de profesorii Centrului de Resolvent pentru pregătirea pentru USE și OGE (Math).
Pentru elevii care doresc să se pregătească bine și să treacă USE sau OGE (GIA) pentru matematică, fizică sau rusă la un punctaj mare, centrul de formare Resolventa conduce
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: