cartierul U de y 0 astfel încât pentru toți y U ˙ ∩ Y și pentru toți x x inegalitatea | f (x, y) - φ (x) | <ε .
Lemma 4.2. Din convergența uniformă rezultă o convergență punctuală.
Notă. Conversia nu este adevărată, de exemplu: f (x, y) = x y pe [0; 1] 2.
Se spune că f (x, y) converge uniform pe X când y → y 0. Dacă există o limită punctul său, și are o convergență uniformă la un punct această limită.
Teorema 4.26 (criteriul Bolzano-Cauchy). f (x, y) converge uniform pe X
când y → y 0 dacă și numai dacă pentru orice ε> 0, există o vecinătate U punct y 0 astfel încât pentru orice y 1. 2 y U ˙ ∩ Y pentru toți x X inegalitatea | f (x, y 1) - f (x, y 2) <ε .
Corolarul 4.6 (testul Bolzano-Cauchy pentru secvență). fn (x) converge ranomerno pe X când n → ∞ dacă și numai dacă pentru orice ε> 0 există NN astfel încât pentru orice n> N și orice număr întreg p, inegalitatea | fn (x) - f n + p (x) | <ε.
Teorema 4.27. f (x, y) φ (x) dacă și numai dacă pentru orice succesiune
Condiția y n → y 0 situată în Y. Avem o convergență uniformă
4.6. INTEGRALE CU PARAMETRI
Teorema 4.28 (teorema lui Dini). Fie f (x, y) următoarele condiții: 1) f (x, y) este continuă în x pentru fiecare y Y;
2) f (x, y) este monoton la y pentru fiecare x X;
3) f (x, y) converge punctual la φ (x) ca y → y 0;
4) φ (x) este continuă în x;
5) X este închis și limitat (compact).
[mai întâi ne dovedim pentru secvențe]
punctul x 0. atunci φ (x) este continuu la punctul x 0.
[vom dovedi mai întâi pentru secvență]
Pentru funcțiile continue definite pe setul X se poate seta norma:
Într-un caz mai general (funcțiile nu pot fi continue), o astfel de funcție definește un seminorm. Convergența în spațiul de funcții cu privire la un asemenea seminorm este echivalentă cu convergența uniformă.
Teorema 4.30. f (x, y) φ (x) dacă și numai dacă kf (x, y) -φ (x) k ∞ → 0
Teorema privind permutarea limitelor.
Teorema 4.31. Dacă f (x, y) φ (x) și pentru fiecare y există un punct pre-
cazurile lim f (x, y).
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y).
4.6.2 Integrale eigen cu un parametru
Fie f (x, y) definit pe [a; b] × Y și y 0 este un punct limită de Y. Să presupunem, de asemenea, că f (x, y) este integrat pe [a; b] pentru fiecare Y Y. Denumiți prin
Teorema 4.32 (permutarea limitei și integrala). Dacă f (x, y) este continuă în
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: