În calculul matematicii, de regulă, luăm în considerare soluția problemelor prezentate corect. Aceasta înseamnă că problema inițială are o soluție unică care depinde într-o anumită regiune continuu de datele inițiale ale problemei. Cu alte cuvinte, pentru o eroare mică în specificarea datelor inițiale, soluția problemei corect ridicate se modifică de asemenea cu o mică sumă. În practică, valorile aproape tuturor cantităților sunt date și determinate aproximativ. Această circumstanță are o importanță excepțională pentru matematica computațională. Soluția fiecărei probleme trebuie obținută cu o precizie care să permită utilizarea acesteia în practică. Pentru a rezolva problema, este necesar ca eroarea soluției obținute să nu depășească valoarea admisă. Luați în considerare sursa de erori pentru un exemplu specific. Să fie necesar să se calculeze suprafața unei figuri constând dintr-un triunghi dreptunghiular și un semicerc, construit pe unul dintre picioare ca pe un diametru. În acest caz, valorile unghiului și ale hypotenusei obținute ca rezultat al măsurării sunt date. Valorile exacte ale cantităților inițiale vor fi notate cu și. Astfel, valoarea exactă a zonei este exprimată prin formula.
Valoarea zonei prin valorile date ale valorilor inițiale este determinată de expresie. O diferență se numește o eroare ineradicabilă. Această eroare se datorează datelor inexacte de intrare. Pentru a reduce eroarea ineradicabilă, este necesar să se măsoare cu mai multă precizie valorile cantităților originale și aceasta este responsabilitatea clientului și nu matematicianul care rezolvă problema. Pentru a calcula valorile funcțiilor trigonometrice, folosim extensiile din seria Taylor, apoi ajungem la egalitate. Diferența se numește eroarea metodei. Eroarea metodei poate fi redusă. În exemplul nostru, matematica pentru această nevoie trebuie să aibă o valoare suficient de mare în expansiuni. Datele brute și numerele iraționale sunt rotunjite la intrarea în computer, iar rezultatele intermediare și finale sunt rotunjite. De fapt, valoarea calculată a zonei va fi notată. O diferență se numește o eroare de calcul. Puteți reduce eroarea de calcul prin utilizarea unui computer cu o rețea mai mare de biți și, de asemenea, prin operații de programare pe numere cu o lățime de biți mare. Eroarea totală constă în trei tipuri de erori :.
Eroare nerecuperabilă. Să denotăm valoarea aproximativă a cantității și valoarea exactă a acesteia. Eroarea cantității aproximative este determinată de egalitate.
Dacă fracțiunea este aproximată de un număr, atunci pentru o eroare a acestei aproximări obținem.
În practică, este rareori posibil să se obțină valoarea exactă a erorii valorii aproximative. Prin urmare, se utilizează conceptul de eroare absolută. Eroarea absolută este determinată de inegalitate.
Desigur, ele se străduiesc să găsească cât mai mică posibilă o valoare a erorii absolute care satisface inegalitatea indicată. De exemplu, dacă numărul irațional este aproximat, numărul ca eroare absolută poate fi luat ca 0.002 sau 0.0016, dar nu 2 sau 3, deși ultimele numere sunt potrivite pentru determinarea erorii absolute.
Cantitatea se numește eroarea relativă a numărului aproximativ. Dacă, atunci ca o eroare relativă, putem lua un număr.
Numerele semnificative din punct de vedere numeric sunt toate numerele și zerourile care nu sunt zero și care se găsesc între cifre semnificative sau reprezintă zecimală stocată.
Figura numărului aproximativ este numită true dacă eroarea absolută a numărului nu depășește jumătate din unitatea cifrei în care se află această cifră.
Observație 1. Erorile absolute și relative sunt înregistrate cu o precizie de una sau două cifre semnificative.
Observația 2. Erorile absolute și relative sunt rotunjite numai cu un exces.
Să analizăm problema estimării unei erori ineradicabile în rezolvarea unei probleme prin calcularea valorii unei funcții dintr-o valoare dată a argumentului. Valoarea argumentului este dată cu eroare absolută. Este necesar să se estimeze eroarea absolută.
Folosind formula de creșteri finite ale Lagrange, obținem. De aici avem inegalitatea, unde. Deci, puteți pune.
În mod similar, este estimată o eroare nerecuperabilă în cazul unei funcții a mai multor variabile. Avem. Prin urmare, pentru eroarea absolută a funcției, obținem expresia dorită, unde.
Fie ca ecuația patratică să fie rezolvată cu ajutorul unui dispozitiv de calcul care efectuează operații aritmetice cu o precizie de patru cifre zecimale semnificative. Luați în considerare calculul rădăcinii mai mici în conformitate cu egalitatea. Când extrageți rădăcina de pe dispozitiv, se va întoarce. Când se scade pe dispozitiv, obținem 70.00-69.99 = 0.01. Astfel, rezultatul final se obține cu o precizie a unei cifre semnificative.
Să modificăm algoritmul de calcul în conformitate cu expresia.
Rezultatul primei acțiuni rămâne același. Rezultatul celei de-a doua acțiuni 70.00 + 69.99 = 140.0 este rotunjit până la patru cifre semnificative. În cea de-a treia acțiune, rezultatul final este 1 / 140.0 = 0.007143 cu o precizie de patru cifre semnificative. Acest exemplu arată că algoritmul de calcul ales poate afecta semnificativ cantitatea de eroare de calcul.
Ca un al doilea exemplu, să luăm în considerare calculul sumei de numere pe același dispozitiv de calcul: x = 1.23 + 9.374 + 0.0046 + 0.0039 + 0.0141. Să se efectueze adăugarea de la stânga la dreapta: 1,23 + 9,374 = 10,60; 10,60 + 0,0046 = 10,60; 10,60 + 0,0039 = 10,60; 10,60 + 0,0141 = 10,61.
Și acum vom construi pe dispozitiv adăugarea acelorași numere în ordinea de referință spre stânga: 0.0141 + 0.0039 = 0.0180; 0,018 + 0,0046 = 0,0226; 0,0226 + 9,374 = 9,397; 9,397 + 1,23 = 10,63. După cum puteți vedea, atunci când se calculează pe un dispozitiv real, suma termenilor depinde de ordinea lor (sumare).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: