Curba este simetrică în raport cu axa polară. Unghiul polar pentru întregul cardioid variază de la 0 la, pentru jumătate din cardioid unghiul se schimbă de la 0 la.
2.9. Calcularea lungimii arcului printr-o curbă plană
1 caz. Permiteți o curbă să fie dată în coordonate dreptunghiulare pe plan. Să calculam lungimea arcului curbei închise între puncte și (figura 12).
Luăm puncte cu abscisa pe arc și tragem acorduri ale căror lungimi vor fi notate, respectiv. Apoi, ajungem unul rupt, inscripționat într-un arc. Lungimea liniei întrerupte este
Definiția. Lungimea arcului este limita la care are tendința lungimea liniei încrucișate înscrise, atunci când lungimea celei mai mari linii sale tinde la zero:
Lungimea întregului arc cuprins între punctele u, se calculează din formula
Exemplu 16. Găsiți lungimea unui cerc.
Soluția. Mai întâi calculează lungimea unui sfert dintr-un cerc situat în 1 trimestru.
Din ecuația circumferinței.
Lungimea întregii circumferințe
2 caz. Lungimea arcului curbelor date parametric:
Calculat prin formula
Exemplul 17. Calculați circumferința unui cerc specificat parametric:
Soluția. Pentru întreaga circumferință variază de la 0 la, apoi pentru un sfert din cerc se schimbă de la 0 la.
3 caz. Dacă curba este dată în coordonate polare, atunci lungimea arcului dintre curbă și (Figura 10) poate fi calculată din formula
Exemplul 18. Calculați lungimea cardioidului.
Soluția. Pentru întregul cardioid, unghiul polar se schimbă de la 0 la, pentru jumătate - de la 0 la.
2.10. CALCULAREA VOLUMULUI CORPULUI
1 caz. Metoda secțiunilor paralele.
Să presupunem că pentru un anumit corp suprafața oricărei secțiuni a acestui corp este cunoscută a fi un plan perpendicular pe axă (Figura 13).
Această zonă va depinde de poziția planului de tăiere, adică va fi o funcție de :. Să fie o funcție continuă. Desenați un plan perpendicular pe ax prin punctul de divizare al segmentului.
Aceste avioane vor sparge corpul în straturi. La fiecare interval parțial luăm un punct arbitrar și înlocuim fiecare strat cu un cilindru cu înălțime și bază. Volumul fiecărui cilindru este. Apoi, volumul întregului corp al treptei va fi egal cu suma volumelor. Deoarece există o funcție continuă, există o limită finită
Care se numește volumul corpului,
Exemplul 19. Găsiți volumul unei theta formate de o suprafață.
Soluția. Construim acest corp (un paraboloid tăiat de un plan) (figura 14).
Desenăm o secțiune printr-un punct arbitrar. Secțiunea transversală este un cerc de rază, ecuația secțiunii.
Se știe că aria unui cerc este egală, prin urmare, aria unei secțiuni trase printr-un punct arbitrar este egală cu
2 caz. Calculul volumului corpului de revoluție.
Fie ca trapezoidul curbilinar delimitat de graficul funcției continue, axei și liniilor drepte, să se rotească în jurul axei (Figura 15).
În acest caz, o secțiune transversală arbitrară a corpului printr-un plan perpendicular pe axă este un cerc de rază a cărui arie
Dacă trapezoidul trapezului, legat de o funcție continuă, axă și linii drepte u, se rotește în jurul axei, atunci se poate calcula volumul corpului de rotație obținut
Exemplul 20. Găsiți volumul unui corp format prin rotirea în jurul axei unei parabole delimitată de o linie dreaptă (Figura 16).
Soluția. Volumul corpului de revoluție în jurul axei este calculat prin formula
În exemplul nostru.
2.11. CALCULAREA APROXIMATIVĂ A INTEGRALULUI DEFINAT
Nu pentru nici o funcție continuă, antiderivativul său este exprimat prin funcții elementare. În aceste cazuri, calculul definițiilor integrate definite de formula Newton-Leibniz este dificil și se folosesc diferite metode pentru calcularea anumitor integrale.
Impartim intervalul de integrare într-un număr par de metode parabole părți esență este că aria trapezului curbiliniu corespunzătoare primelor două segmente și și curba predeterminate limitată este înlocuită cu o zonă a unui trapez curbat, care de sus este delimitată de parabolei care trece prin cele trei puncte (Figura 17.): ,,.
Zona trapezului parabolic pe segment va fi egală cu
adică, avem o egalitate aproximativă
și pe fiecare segment
Rezumând zonele trapezoidelor parabolice, vom avea
Aceasta este formula lui Simpson.
Un exemplu. Calculați integralele.
Acest integrabil al unui binomial diferențial în funcțiile diferențiale nu este calculat.
Împărțim segmentul de integrare în 10 părți egale, lungimea segmentului parțial
Trimiteți-le prietenilor: