Concepte de bază ale algebrei vectoriale

Definiția. Un vector este numit segment segmentat.

Legenda :. Pentru un vector, punctul A este numit începutul vectorului, iar punctul B este sfârșitul vectorului.

Definiția. Un modul al unui vector este lungimea lui.







Definiția. Un vector cu zero (sau vectorul zero) este un vector al cărui început și sfârșit coincid.

Denumire :. Modulul vectorului zero este zero și direcția nu este definită.

Definiția. Un vector de unitate este un vector a cărui lungime este una.

Definiția. Vectorii situați pe linii paralele (sau pe o linie) sunt numiți coliniari.

Definiția. Vectorii collineari având aceleași direcții și lungimi egale sunt numiți egali.

Din definiția egalității vectorilor, rezultă că, indiferent de vectorul și punctul A. întotdeauna posibil să se construiască un singur vector cu punctul A. inițial egal cu vectorul, adică, , sau, după cum se spune, transferă vectorul la punctul A.

Definiția. Vectorii, îndreptate opus și având lungimi egale, sunt numite opuse.

Definiția. Vectorii situați în planuri paralele (sau într-un plan) sunt numiți coplanari.

Operații liniare pe vectori

Definiția. Suma vectorilor și este un vector tras de la început până la capăt, dacă sfârșitul și începutul sunt combinate (regula triunghiului).

Definiția. Suma n vectori este un vector al cărui început coincide cu începutul primului vector, capătul - capătul din urmă, cu condiția ca fiecare vector succesiv amânat de la sfârșitul precedente (k = 1, ..., n) (de închidere în general).

Proprietățile operației de adăugare.
  • (Comutativitatea);
  • (Asociativitatea);
  • (prezența elementului zero);
  • (prezența elementului opus).

Definiția. Diferența de vectori și este un vector astfel încât în ​​suma cu vectorul dă vectorul: dacă

Definiția. Produsul unui vector cu un număr λ ≠ 0 este un vector al cărui modul și care este orientată în aceeași direcție ca și vectorul, dacă λ> 0. și opusul, dacă λ<0. Если λ=0 и/или , то .

Proprietățile produsului unui vector cu un număr :.





  • (distributivitate în ceea ce privește adăugarea de vectori);
  • (distributivitate față de adăugarea a două numere);
  • (Asociativitatea);
  • (multiplicare cu unul).

Teorema [condiție necesară și suficientă pentru colinearitatea a doi vectori]. Vectorii sunt coliniari dacă se menține următoarea egalitate:

Luați în considerare un vector și axa l. Fie ca punctele A1 și B1 să fie punctele de intersecție a axei l cu planuri perpendiculare pe ea care trec prin punctele A și B.

Definiția. Proiecția vectorului pe axa l este un număr egal cu lungimea vectorului, luată cu „plus“ în cazul în care direcția vectorului coincide cu direcția axei și cu un „minus“ semnul altfel.

Proiecția se calculează după formula:

unde ϕ este unghiul dintre vector și axă.

Proprietățile de bază ale proiecției:

Dacă - coordonatele axelor de coordonate ale sistemului de coordonate dreptunghiulare Oxyz. atunci orice vector poate fi reprezentat în mod unic sub forma sumei lor; liniar, cu coeficienți:

Coeficienții unei combinații liniare sunt numiți coordonatele vectorului în bază. Coordonatele vectorului sunt proiecțiile sale pe axele coordonatelor. înregistrare:

Lungimea vectorului este determinată de formula:

Formele vectorului formează axele de coordonate Ox. Oy. Oz unghiuri α. β. γ respectiv. Direcția acestui vector este determinată de direcțiile cosinus, pentru care au următoarele egalități:

Direcțiile cosinelor sunt legate de relația :.

Trecerea de la relațiile vectoriale la coordonate

Să fie date două vectori și.

1) Condiția necesară și suficientă pentru colinearitatea vectorilor poate fi scrisă ca

Dacă niciuna dintre coordonatele celui de-al doilea vector nu este zero, atunci

Ie vectorii sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale.

4) Să presupunem că există n vectori și combinația lor liniară

Produsul scalar al a doi vectori

Definiția. Un produs scalar al vectorilor nonzero este produsul modulilor lor de cosinusul unghiului ϕ între ele:

Produsul scalar este de asemenea indicat prin

Deoarece (este proiecția vectorului pe vector) și $ |, putem scrie

Conceptul de produs scalar a apărut în mecanică. Dacă vectorul reprezintă o forță al cărei punct de aplicare se mișcă de la începutul la sfârșitul vectorului, atunci lucrarea acestei forțe este determinată de egalitate.

O condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori. Vectors și sunt perpendiculare dacă și numai dacă egalitatea deține.

Proprietățile unui produs scalar.
  • (Comutativitatea);
  • (Asociativitatea);
  • ;
  • (distributivitate în raport cu suma vectorilor).

Teorema. Produsul scalar al a doi vectori

Notă. Dacă, prin urmare,

Corolar. Cosinul unghiului φ între vectori și este dat de

Corolar. O condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea a doi vectori este exprimată prin

Corolar. Dacă axa n formează unghi α cu axele de coordonate. β. γ, respectiv proiecția vectorului pe această axă este dată de







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: