Probabilitatea de a cădea într-un interval:
Regula de "trei sigma".
Un eveniment real de încredere că valorile unei variabile aleatorii distribuite în mod normal cu parametrii m și sunt închise în intervalul (m-3 # 963 ;; m + 3 # 963;).
Presupunând că creșterea bărbaților unui anumit grup de vârstă este o variabilă aleatorie X. Găsiți. . ponderea costumelor celei de-a patra creșteri (176, 182 cm), care ar trebui furnizată în producția totală pentru această grupă de vârstă.
Legea distribuției normale este întâlnită cel mai adesea în practică. Caracteristica principală care îl deosebește printre alte legi este că este o lege limitativă la care se abordează alte legi de distribuție în condiții foarte comune. Cu drept normală un număr de distribuții importante (log-normale, testul chi-pătrat, distribuția t Student, distribuția Fischer-Snedecor).
Legea numerelor mari.
Prin legea unui număr mare se înțelege stabilitatea mijloacelor: pentru un număr foarte mare de fenomene aleatorii, rezultatul lor mediu încetează practic să fie aleatoriu și poate fi prezis cu un grad ridicat de certitudine. Prin legea numărului mare în teoria probabilităților se înțelege o serie de teoreme, fiecare stabilind faptul că caracteristicile medii ale unui număr mare de încercări abordează anumite constante definite.
Teorema 1 (inegalitatea Markov). Fie X o variabilă aleatorie pentru care există o așteptare matematică. Dacă P (X <0)=0, то
Prin condiția P (X <0)=0, следовательно, случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения.
1) Fie X o variabilă aleatoare discrete. atunci
2) Fie X o variabilă aleatorie continuă. atunci
Pentru a estima probabilitatea ca, cu 3600 de rulouri de zaruri independente, numărul de apariții de 6 puncte va fi de cel puțin 900.
Folosim inegalitatea Markov și proprietatea așteptărilor matematice
Teorema 2 (inegalitatea lui Chebyshev). Pentru orice variabilă aleatoare X. care are așteptările M (X) și varianța D (X) și pentru orice număr pozitiv se menține următoarea inegalitate:
Un eveniment este echivalent cu sau
Prin teorema 1, obținem:
Notă. Trecând la evenimentul opus, inegalitatea lui Chebyshev poate fi scrisă sub forma:
Probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare test este de 0,5. Estimați probabilitatea ca numărul de apariții ale evenimentului A să fie de la 40 la 60 în 100 de studii independente.
Teorema 3 (teorema lui Chebyshev). Dacă variabilele aleatoare:
1) sunt independente prin perechi;
2) au așteptări matematice;
3) au dispersii. marcat în agregat (adică pentru orice k de la 1 la n este satisfăcut);
atunci pentru orice număr pozitiv sunt valabile următoarele:
Luați în considerare o variabilă aleatorie.
Folosim inegalitatea lui Chebyshev:
(tinde la 0 pentru)
Notă. În cazul în care condițiile de teorema lui Cebîșev, se spune că creșterea nelimitată în numărul n de media aritmetică a variabilelor aleatoare converge în probabilitate la media așteptărilor lor matematice:
Teorema 4 (teorema lui Khinchin). Dacă variabilele aleatoare:
1) sunt independente prin perechi;
2) distribuite în mod egal;
3) au o așteptare matematică m;
Teorema 5 (teorema lui Bernoulli). Frecvența evenimentului A din n studiile independente converge în probabilitate la probabilitatea apariției evenimentului A într-un singur test:
Teorema lui Bernoulli justifică definirea statistică a probabilității.
Teoremele considerate (legea unui număr mare) stabilesc faptul că mediile unui număr mare de variabile aleatorii abordează o anumită constantă. Dar acest lucru nu se limitează la regularitățile care apar ca urmare a acțiunii totale a variabilelor aleatoare. Se pare că, în anumite condiții, efectul agregat al variabilelor aleatoare conduce la o lege normală de distribuție.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: