Definiția 1. Matricea B este numită inversă a matricei A dacă
unde E este matricea identității.
Teorema 1 (condițiile necesare pentru existența unei matrice inverse). Pentru ca matricea A să fie inversată, ea trebuie să fie pătrată și ne-degenerată.
Dovada. Restricția privind dimensiunea matricei trebuie să fie o condiție necesară pentru existența operațiunii de matrice de multiplicare: numărul de coloane din primul factor să fie egal cu numărul de rânduri de-al doilea, și deoarece, în acest caz, mai condiție suprapusă și suplimentar comutativitate (1), pentru matricea sa de implementare trebuie să fie matrici pătrate de și de aceeași dimensiune.
Necesitatea celei de-a doua condiții este dovedită prin contradicție. Să presupunem că există o matrice A degenerată; . care are o matrice inversă B.
Apoi, pe de o parte. pe de altă parte. Avem o contradicție. În consecință, ipoteza este falsă și matricea A nu este degenerată. Teorema este dovedită.
Notă. Astfel, dacă matricea A are o matrice inversă, atunci ea este o matrice pătrată de aceeași mărime și nu este degenerată.
Teorema 2 (unicitatea existenței unei matrice inverse). Dacă matricea are o matrice inversă, atunci este unică.
Dovada. Aplicăm metoda prin contradicție. Să presupunem că există o matrice A pentru care există două matrice inverse diferite B și C:
Apoi, din moment ce. apoi înmulțind ambele laturi ale egalității de la stânga cu matricea, obținem
Și aceasta implică faptul că matricile A și B sunt egale. Contradicția. În consecință, dacă matricea are un caracter invers, atunci este unică. Teorema este dovedită.
Teorema 3 (formula pentru calculul matricei inverse). Dacă matricea pătrată este nondegenerată, adică . atunci matricea inversă poate fi definită de regulă:
unde sunt algebrice complementare elementelor. ; matrice.
Dovada. Pentru a demonstra afirmația, este suficient să se arate că condiția (1) este îndeplinită.
Deoarece în funcție de proprietățile adițiilor algebrice la elementele matricei (a se vedea punctul 4):
Deoarece, în funcție de proprietățile adaosurilor algebrice la elementele matricei (a se vedea punctul 4):
Astfel, condițiile din definiția 1 sunt îndeplinite. Teorema este dovedită.
Dar nu este nevoie de acest lucru.
Exemplul 1. Pentru matrice, găsiți matricea inversă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: