Găsirea ultimei cifre într-o înregistrare a gradului unui număr natural.
După ce a studiat tema "Grad cu un exponent natural", a fost propusă următoarea problemă: pentru a găsi ultima cifră de grade:
Am observat că în primul caz exponenții sunt numere compuse. iar în al doilea caz exponenții sunt numere prime. În ambele cazuri, există baze chiar și impare. Am incercat mai intai sa prezentam grade sub forma de produse de putere cu aceeasi baza si aceiasi exponenti, apoi am folosit proprietatile puterii cu exponentii naturali
Ultima cifră a unui grad.
Să facem un mic studiu: vom afla dacă există o regularitate în modul în care se schimbă ultima cifră a numărului 2 n. unde n este un număr natural, cu o schimbare a exponentului n. Pentru a face acest lucru, luați în considerare tabelul:
Vedem că la fiecare patru pași se repetă ultima cifră. Observând acest lucru, nu este dificil să determinăm ultima cifră a gradului 2 n pentru orice exponent n.
De fapt, să luăm numărul 2 100. Dacă am continuat masa, ar intra în coloana în care se află gradele 2 4 2 2 2 2 12. Exponentii acestora sunt multiplii de câte patru. Prin urmare, numărul 2 100, ca aceste grade, se termină cu numărul 6.
Luați, de exemplu, 2 22. Dacă verificați, doar numărați, obțineți 4194304 - ultima cifră este de 4.
Acum, să încercăm să folosim masa, dar în tabelul 4 numere și exponent 22, cu toate acestea, după ultimul număr acest "cerc" începe din nou. Prin urmare, exponentul lui 22 este divizibil cu 4, primim numărul 5 și restul de 2, adică facem 5 "cercuri", iar noi numărăm 2 în față, iar al doilea este 4, așa că tabelul funcționează.
Și acum, să vedem dacă este posibil să faci mese pentru numerele rămase. Nu voi descrie totul, dar voi spune că am reușit să fac o masă pentru toate numerele de la 1 la 10, iar apoi se va repeta, să spunem că în 12 ultimul număr va fi același ca în 2 și în 25 - exact ca și la 5.
Modelele de exponentiere:
Înregistrarea unui număr care este o pătrată completă se poate încheia numai cu cifre 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Dacă o intrare a unui număr se termină cu o cifră 0, 1, 5 sau 6, atunci creșterea la orice putere nu va schimba ultima cifră.
Când ridicați un număr în a cincea putere, ultima sa cifră nu se va schimba.
Dacă numărul se termină cu cifra 4 (sau 9), atunci când este ridicată la o putere ciudată, ultima cifră nu se schimbă, iar când este ridicată la o putere uniformă, ea se modifică la 6 (respectiv 1).
Dacă numărul se termină cu numărul 2, 3, 7 sau 8, atunci când creșteți la putere, sunt posibile patru cifre diferite.
Ultimele două cifre ale gradului.
Acum știm că ultima cifră va fi repetată mai devreme sau mai târziu. Dar ultimele două cifre? Îndrăznesc să sugerez că vor fi repetate nu numai 2, ci și 3 sau mai multe cifre ultime. Ei bine, să verificăm, am observat că perioadele din tabelul precedent au crescut de 5 ori, cu excepția numerelor 5 și 10, și nu am scris despre numărul 1, deoarece rezultatul va fi întotdeauna 1.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: