Teoria sclaviei

Matrice, acțiuni cu matrice, matrice inversă. Matricea ecuațiilor și soluțiile lor.

Matricea este o tabelă dreptunghiulară de numere arbitrare aranjate într-o anumită ordine, de dimensiune m * n (rânduri pe coloane). Elementele matricei sunt notate, unde i este numărul liniei și j este numărul coloanei.

Adunarea (scăderea) matricelor este definită numai pentru matricile unidimensionale. Suma (diferența) matricelor este o matrice a cărei elemente sunt respectiv suma (diferența) elementelor matricelor originale.

Înmulțirea (diviziunea) cu un număr este înmulțirea (diviziunea) fiecărui element al matricei cu acest număr.

Înmulțirea matricilor este definită numai pentru matrice, numărul de coloane din primul dintre ele fiind egal cu numărul de rânduri din al doilea.

Înmulțirea matricelor este o matrice ale cărei elemente sunt date de formule:

Transpunerea unei matrice este o matrice B a cărei rânduri (coloane) sunt coloane (rânduri) în matricea originală A. Denunțat de

Inversa Matricea - astfel pătrat matritsaX, care, împreună cu o matrice A pătrat de aceeași condiție ordine udovlevtoryaet:, gdeE - matricea identitate de același ordin care iA. Orice matrice pătrată cu determinant nu egală cu zero are 1 matrice inversă. Este găsit prin metoda de transformare elementară și folosind formula:

Ecuațiile de matrice - ecuațiile formulei A * X = B este produsul matricelor, răspunsul la această ecuație este matricea X, care se găsește folosind regulile:

Dependența liniară și independența coloanelor (rândurilor) matricei. Criteriul de dependență liniară, condiții suficiente pentru dependența liniară a coloanelor (rândurilor) matricei.

Un sistem de rânduri (coloane) este denumit linear independent. în cazul în care o combinație liniară a triviale (egalitatea are doar pria1 ... n = 0), gdeA1 ... n - coloane (linii), AA1 ... n - coeficienți de dilatare.

Criteriul. pentru a se asigura că sistemul de vectori este dependent de liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar în termenii vectorilor rămași ai sistemului.

Determinanții matricei și proprietățile acestora

Determinantul matricei (determinant) este un număr care poate fi calculat pentru matricea pătrată A de către elementele matricei prin formula:

, unde este elementul minor al elementului

Atunci când două rânduri paralele sunt schimbate, factorul determinant se schimbă semnând contrariul

Un determinant care are două serii identice este egal cu zero

Dacă rândurile sau coloanele sunt dependente liniar,

Multiplicatorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi luat în afara semnului determinantului

Determinantul nu se va schimba dacă la elementele unei serii se adaugă elementele corespunzătoare ale seriei paralele înmulțite cu orice număr

Matricea inversă, algoritmul pentru calculul matricei inverse.

Matricea inversă este o matrice pătrată X care, împreună cu o matrice pătrată A de aceeași ordine, satisface condiția: unde E este matricea identității de aceeași ordine ca A. Orice matrice pătrată cu determinant nu egală cu zero are 1 matrice inversă. Se găsește utilizând metoda transformărilor elementare și utilizând formula:

Noțiunea de rang de matrice. Teorema pe baza minorului. Criteriul egalității cu determinantul zero al matricei. Transformări matrice elementare. Calcule de rang prin metoda transformărilor elementare. Calculul matricei inverse prin metoda transformărilor elementare.

Rangul matricei este ordinea minorului de bază (rg A)

Un minor este un minor de ordin nu egal cu zero, astfel încât toți minorii de ordin r + 1 și mai mare sunt egali cu zero sau nu există.

Teorema pe baza minorului - Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană

Dovada: Să presupunem că minorul de bază din matricea dimensiunilor m * n este localizat în primele r rânduri și în primele coloane r. Luați în considerare factorul determinant, care este obținut prin alocarea către minorul de bază a matricei A a elementelor corespunzătoare ale rândului s și ale coloanei k.

Observăm că pentru oricare dintre acești determinanți este zero. Dacă sau, determinantul D conține două rânduri identice sau două coloane identice. Dacă w, atunci determinantul D este zero, deoarece este minor (r + λ) -ro de ordine. Extindând determinantul pe ultima linie, obținem :, unde sunt complementele algebrice ale elementelor din ultimul rând. Rețineți că, deoarece aceasta este o minore de bază. Prin urmare, atunci când scriem ultima egalitate, obținem, adică Coloana k (pentru orice) este o combinație liniară de coloane a minorului de bază, după cum este necesar.

Criteriul detA = 0 - determinantul este egal cu zero dacă și numai dacă rândurile (coloanele) sunt dependente liniar.

1) multiplicarea unui șir cu un număr diferit de zero;

2) adăugarea elementelor unei alte linii la elementele unei linii;

3) permutarea liniilor;

4) ștergerea uneia din aceleași linii (coloane);

Calculul Grad - teorema minoră de bază implică faptul că gradul de matricei A este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente (coloane în matrice) și, prin urmare, problema transformărilor elementare găsi toate liniar rânduri independente (coloane).

Calcularea matricei inverse - - Transformările pot fi realizate prin înmulțirea prin matricea A a unei anumite matrice T, care este produsul matricelor elementare corespunzătoare: TA = E.

Această ecuație înseamnă că matricea de transformare T este o matrice inversă pentru matrice. Prin urmare, Togdai

Articole similare

Pagina anterioară