Def. Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori independenți liniar ai sistemului.
Def. Baza unui sistem de vectori este subsistemul maximal independent din punct de vedere liniar al unui sistem de vectori dat.
În special, orice set de vectori α independenți liniar de un spațiu n-dimensional este o bază.
Teorema. Orice vector al sistemului poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară a vectorilor de bază ai acestui sistem.
Dovada. Lăsați sistemul să aibă o bază.
1) Fie vectorul o bază (de exemplu, aceasta). Apoi.
2) Fie vectorul să nu fie o bază. De exemplu, acesta este un vector. unde p> k.
Luați în considerare sistemul. Este dependentă liniar. În consecință, există numere. nu toate sunt egale cu zero, astfel încât. Este evident că. deoarece în caz contrar, baza ar fi dependentă liniar. atunci
3) vom dovedi că expansiunea vectorului în raport cu baza este unică.
Să presupunem contrariul: există două descompuneri ale vectorului în raport cu baza:
Prin scăderea acestor egalități, obținem:
Luând în considerare independența liniară a vectorilor de bază, obținem:
Prin urmare, descompunerea este unică.
Rangul unui spațiu n-dimensional este egal cu dimensiunea sa. Prin urmare, oricare dintre bazele sale constă în η vectorii n-dimensionali independenți liniar. Orice sistem dintr-un spațiu n-dimensional care conține mai mult de vectori n este dependent în mod liniar. Orice vector al spațiului poate fi extins în mod unic în ceea ce privește vectorii, pe orice bază. Coeficienții de expansiune sunt numiți coordonatele unui vector dat pe această bază.
Trimiteți-le prietenilor: