Definiția 2. Un vector vector al unui vector se numește vector. lungimea și direcția cărora sunt determinate de următoarele condiții:
1. unde este unghiul dintre.
3. - triple-dreapta vectorilor.
Proprietățile produsului vectorial
1. (proprietatea anti-comutativității factorilor);
2. (distributivă cu privire la suma vectorilor);
3. (combinarea față de un factor numeric);
4. (produsul vector înseamnă că vectorii sunt coliniari);
5 .. adică, momentul forțelor este egal cu produsul vector al forței pe braț.
Dacă vectorul. atunci.
Definiție 3. Un produs mixt de trei vectori este un număr definit după cum urmează: Dacă vectorii sunt date de coordonatele lor :.
Proprietățile produsului mixt
1. Condiția necesară și suficientă pentru coplanaritatea vectorului este egalitatea = 0.
2. Volumul unui paralelipiped construit pe vectori
Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1. Găsiți coordonatele produsului vectorial. în cazul în care. .
Soluția. Să găsim și. Produsul vectorial, prin definiție, este egal cu.
Problema 2. Forțele sunt aplicate la punct. Se calculează amploarea cuplului forțelor rezultate în raport cu punctul.
Soluția. Găsiți forța și umărul. . timp
Forța este calculată prin formula
Problema 3. Coordonatele vârfurilor paralelipipedului sunt date :. Găsiți volumul paralelipipedului, înălțimea lui scăzând de la vârful C, unghiul dintre vectorul AD și fața în care se află vectorii AB și AC.
Soluția. Prin definiție, volumul unui paralelipiped este egal cu produsul mixt al vectorilor pe care este construit. Să găsim acești vectori:
Volumul acestui paralelipiped.
Pe de altă parte, volumul paralelipipedului. este zona paralelogramului :.
Unghiul dintre vector și față poate fi găsit de la
deoarece vectorul este perpendicular pe fața în care se află vectorii. Unghiul dintre acest vector și vector se găsește din formula binecunoscută
. Evident, unghiul dorit.
Problema 4. Verificați dacă punctele se află într-un plan. . Găsiți dependența liniară a vectorului. dacă este posibil.
Soluția. Să găsim trei vectori :.
Trei vectori se află într-un plan, dacă sunt coplanari, adică produsul lor mixt este egal cu zero. În consecință, acești trei vectori ai liniar-
dar sunt dependenți. Să găsim dependența liniară de la.
Rezolvând acest sistem, ajungem. și anume .
1. Calculați: a); b);
2. Calculați aria triunghiului construit pe vectori și.
3. Se dau vectorii. Găsiți coordonatele vectorilor:
4. Calculați aria triunghiului cu vârfurile
5. Într-un triunghi cu vârfuri. și găsiți înălțimea.
6. Găsiți vectorul. dacă vectorii au următoarele coordonate:
7. Forța este aplicată punctului. Determinați momentul acestei forțe în raport cu punctul.
8. Determinați dacă vectorii formează o bază în setul tuturor vectorilor, dacă a); b).
9. Calculați volumul tetraedrului OABA, dacă
10. Într-un tetraedru cu vârfuri în punctele u
11. Verificați dacă aceste vectori sunt co-planare:
12. Dovedeste ca cele patru puncte se afla in acelasi plan.
13. Găsiți coordonatele celui de-al patrulea vârf al tetraedrului ABCD. dacă se știe că se află pe axa Oy și volumul tetraedrului este V:
1. Simplificați expresia.
2. Găsiți zona paralelogramului construit pe vectori și. unde sunt vectorii unitari, unghiul dintre care este egal cu.
3. Se dau vectorii. Găsiți un vector
4. Având un triunghi cu vârfuri. Găsiți zona.
5. Având în vedere puterea. aplicată la un punct. Determinați magnitudinea și direcțiile cosinilor cuplului forțelor rezultate în raport cu punctul.
6. Calculați volumul unui paralelipiped construit pe vectori:
1). unde sunt orthes reciproc perpendiculare;
7. Dovedeste ca punctele stau intr-una
8. Având în vedere vârfurile tetraedrului. Găsiți lungimea înălțimii scăpată de la vârful O la fața ABC.
9. Vectori. formând dreptul trei, sunt reciproc perpendiculare. cunoaștere
10. Vectorul este perpendicular pe vectori. unghiul dintre este. Știind asta. pentru a calcula.
11. Sunt furnizate vectorii. Calculați.
12. Să stabilească dacă vectorii sunt coplanari. dacă
13. Dovedeste ca punctele se afla intr-un plan.
14. Calculați volumul tetraedrului a cărui vârfuri sunt la punctele.
15. Având în vedere vârfurile tetraedrului. Găsiți înălțimea lui, omisă de la punctul D
16. Volumul tetraedrului. cele trei noduri sunt în puncte. Găsiți coordonatele celui de-al patrulea vârf D, dacă se știe că se află pe axă.
1). 2). 3) (-3, 5, 7), (6, 10, 14), (-12, 20, 28).
4). 5) 5. 6) (-20, 7, -11). 8) Nu, da. 9) 17/2. 10). 11) Da, nu.
Răspunsuri la teme
1). 2). 3). 4). 5). 6) 0. 8) 11.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: