Fie integrand o fracțiune rațională, unde și sunt polinoame (polinoame) de grade k și n, respectiv. Fără pierderea generalității, putem presupune că k exemple De asemenea, vă recomandăm să vă familiarizați cu posibilitatea rezolvării online a integralelor.
Putem calcula integralitatea polinomului R (x). Să arătăm printr-un exemplu cum se poate obține extinderea (1.1). lăsa
P (x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 - 3x3 + 4x2 + x -2, Q (x) = x 3 + 3 x 2 + x-2. Împărțim polinomul P (x) pe polinomul Q (x) în același mod în care împărțim numerele reale (obținem soluția prin calculatorul coloanei). Avem
Astfel, am obținut partea întreagă a fracțiunii (coeficientul P al diviziunii polinom de polinomul Q) R (x) = x 2 + 2x 4 - 4x + 7, iar restul S (x) = 9x 2 - 14x +12 din această diviziune.
Prin teorema fundamentală a algebrei [6] orice polinom poate fi descompus în factori de prim, care este reprezentat în forma în care - rădăcinile polinomului Q (x) repetat de mai multe ori multiplicitate lor.
Să presupunem că polinomul Q (x) are n rădăcini diferite. Apoi, fracțiunea rațională regulată poate fi reprezentată în formă, unde sunt numerele care urmează să fie determinate. Dacă este o rădăcină de multiplicitate # 945; apoi, la aceasta în descompunerea în cele mai simple fracții corespunde # 945; termeni. Dacă xj este o rădăcină complexă a multiplicității unui polinom cu coeficienți reali, atunci conjugatul complex este de asemenea o rădăcină de multiplicitate # 945; din acest polinom. Pentru a nu trebui să se ocupe cu numere complexe în integrarea fracțiilor raționale, termenii în extinderea fracțiunii raționale corespunzătoare, care corespund perechilor de rădăcini conjugate complexe, combinate și au înregistrat un singur termen de formă, în cazul în care - rădăcinile una multiplicitate. Dacă rădăcinile sunt de multiplicitate, atunci ele corespund sumei și expansiunea corespunzătoare are forma
Astfel, integrarea corectă a fracțiilor raționale a fost redusă la integrarea fracțiunilor parțiale din care sunt tabelate, acesta poate fi găsit prin formula recursie, care se obține prin integrarea prin părți. Integralele, în cazul în care numitorul are rădăcini complexe (discriminante) sunt reduse prin alocarea unui pătrat perfect, la înlocuirea integralele.
O modalitate de a găsi coeficienții Aj. Mj. Nj în descompunerea unei fracții raționale regulate este următoarea. Partea dreaptă a descompunerii rezultate cu coeficienți nedeterminați Aj. Mj. Nj duce la un numitor comun. Deoarece numitorii partilor din dreapta si din stanga sunt egali, numaratorii, care sunt polinoame, trebuie sa fie egali. Echivalând coeficienții aceleași puteri ale lui x (deoarece polinoamele sunt egale dacă coeficienții sunt aceleași puteri ale lui x), obținem un sistem de ecuații liniare pentru determinarea acestor coeficienți.
1. Găsiți.
Rădăcinile numitorul - x1 = -2 multiplicitate 1 și x2 = 1 multiplicitate 2. Prin urmare, x 3 - 3x + 2 = (x + 2) (x1) și 2 funcția integrantul poate fi reprezentat ca
Presupunând un numitor comun, obținem
Echizându-se coeficienții acelorași puteri de x în numerotatorii de pe partea dreaptă și cea stângă a ultimei relații, obținem
Rezolvarea acestui sistem, găsim.
În acest fel,
2. Găsiți.
Rădăcinile numitorului sunt x1 = 2 multiplicități 1 și două rădăcini complexe x2,3, = -1 ± i. Prin urmare, x 3 - 2x - 4 = (x - 2) (x 2 + 2x + 2) și integrad pot fi reprezentate în forma
Presupunând un numitor comun, obținem
Echizându-se coeficienții acelorași puteri de x în numerotatorii de pe partea dreaptă și cea stângă a ultimei relații, obținem
Rezolvând acest sistem, găsim A = 1, M = 1, N = 2.
În acest fel,
Trimiteți-le prietenilor: