Lăsați suprafața netedă sau pătrată netedă π să fie dată. Alegem pe această suprafață o anumită parte, adică orientați suprafața. Să presupunem că π certitudine dată de ecuația cp z = (x, y), unde φ (x, y) - o funcție continuă în D, unde D - proiecție φ (x, y) pe Oxy. Dacă suprafața superioară a selectat π, unghiurile normalele la punctele de formă π cu unghiuri ascuțite axa Oz (la unghiuri de puncte de delimitare tt poate fi drept). Dacă se alege partea inferioară a suprafeței π, unghiurile normalelor cu axul Oz vor fi bont (la punctele de pe marginea suprafeței unghiurile pot fi drepte). Fie π un element arbitrar pe π pe suprafața π, π2, ..., πn. Denumim partiția rezultată de către τ. Partiția τ a suprafeței π în părțile π1, π2, ..., πn generează partiția corespunzătoare a domeniului D în părțile D1, ..., Dn. în cazul în care. Fie, unde dk este diametrul piesei ρk. λ este rangul partiției τ. Pe fiecare parte pk alegem un punct arbitrar Mk. Atunci k> se numesc puncte intermediare του τ.
Fie ΔSk aria Dk. și
Să compunem suma (1). Sumele de acest tip sunt numite sume integrale ale funcției R (x, y, z), suprafața dată π.
Def. Numărul I se numește o limită finită sume integrale (1) pentru λ → 0, dacă pentru orice ε> 0 exista δ> 0 astfel încât pentru orice porțiune de suprafață τ partitie π asupra stării X<δ и любом выборе промежуточных точек на этих частях будет выполниться |σ-I|<ε. При этом пишут .
Def. Dacă limita de capăt a sumei integrale (1) există, se numește suprafață integrală pe suprafața selectată laterală a coordonatele x și y sau integralei de suprafata de al doilea tip, și notate.
Integralitățile de suprafață ale celui de-al doilea tip față de coordonatele z și x, y și z sunt definite în mod similar:
Suma celor trei integrale înregistrate este denumită integrale de suprafață generală a celui de-al doilea tip.
36. Calculul integralelor de suprafață din al doilea tip.
Calculul integralelor celui de-al doilea tip este redus la calculul unui integral dublu în modul următor.
în această formă, σ este suma integrală a întregului dublu ± R (x, y, φ (x, y)), prin urmare, formula
În mod similar, sunt derivate formule:
37. Legătura dintre integralele de suprafață de tipul 1 și 2.
Să presupunem că P tt determinat (x, y, z), Q (x, y, z) și R (x, y, z). Fie ,,, direcțiile cosinilor ale unității normale alese pe partea π.
Apoi formule
Cantitatea se numește fluxul vectorului prin suprafața selectată π.
P - cantitatea de lichid care curge prin în direcția vectorului tt per unitate de timp, dacă - viteză fluidului ideal în punctul M.
Dovada formulelor de mai sus se bazează pe generalizarea următoarei teoreme. Dacă π1 și π2 două planuri între care unghiul φ¹π / 2 și F1 și F2 în forme geometrice plane π1 și π2, respectiv, atunci.
38. Teorema lui Ostrogradskii privind conectarea unui integral de suprafață al celui de-al doilea tip cu integrale triple corespunzătoare.
Fie T un domeniu de spațiu închis mărginit de o suprafață netedă sau netedă netedă π. O funcție F (x, y, z), Q (x, y, z) și R (x, y, z) sunt continue pe π cu derivate parțiale de ordinul întâi, apoi (1)
Integralul (1) de pe partea dreaptă a (1) este luat de-a lungul părții exterioare a suprafeței. (1) este formula Ostrogradsky.
(2) cantitatea se numește divergența vectorului și este notată.
Folosind noțiunea de divergență și flux (1), putem scrie (1 ')
Teorema 39. Stoke pe linia de conexiune integrala pe coordonatele cu o suprafață integrală corespunzătoare a două fel. Rotorul și circulația unui câmp vectorial, teorema lui Stokes în formă vectorică.
π - netede sau porțiuni netede neînchis în suprafața geometrică orientată sens delimitate de un contur neted sau porțiuni netede G. Fie tt definit în funcția F, Q și R, împreună cu continue derivatele parțiale de ordinul întâi, apoi următoarea formulă, în care integrarea este de-a lungul părții selectate π și direcția pozitivă Γ.
Notă. Dacă suprafața este π - regiunea Oxy plane, dzdx = 0 și dydz = 0 și se duce la Stokes formula formula verde.
Un vector este numit rotor (sau vortex) al unui vector și este notat. Caracterizează în fiecare punct capacitatea de rotație a câmpului.
Notă. Formula Stokes în formă vectorică are forma: unde.
Def. se numește circulația câmpului vectorial. Caracterizează capacitatea de rotație a câmpului de-a lungul conturului D.
Trimiteți-le prietenilor: