Seria alternativă poate fi scrisă sub forma:
Un semn al convergenței seriei alternante (testul Leibniz). O serie alternativă converge dacă valorile absolute ale termenilor ei scad monotonic, iar termenul general tinde la zero, adică dacă sunt îndeplinite următoarele două condiții: 1) și.
Luăm a șaptea sumă parțială a unei serii alternante convergente pentru care testul Leibniz este satisfăcut
să fie restul seriei. Aceasta poate fi scrisă ca diferența dintre suma seriei S și suma n-a parțială, adică,
Valoarea este estimată prin inegalitate
converge în cazul în care seria
În acest caz, se spune că seria originală este absolut convergentă. Se spune că o serie convergentă este convergentă condițional. dacă seria diferă.
pentru că 2> 1, atunci seria se diferențiază.
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluție: Aplicați testul Leibniz. deoarece
În consecință, prima condiție a testului Leibniz este îndeplinită. deoarece
atunci a doua condiție este îndeplinită. Prin urmare, această serie converge.
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluție: Să compunem o serie de valori absolute
Această serie este o evoluție geometrică descendentă infinit și, prin urmare, seria dată converge și absolut.
4. Serii funcționale.
Un număr de termeni din care sunt funcții ale lui x. sunt numite funcționale. Setul de valori de x. pentru care funcțiile sunt definite și seria converge, se numesc domenii de convergență ale seriilor funcționale. Fiecare valoare din domeniul de convergență X corespunde unei anumite valori a valorii. Această valoare se numește suma seriei funcționale și este notată cu S (x).
O serie funcțională a formularului
unde sunt numere reale, se numește un număr de putere.
Proprietatea principală a seriei de putere este că, dacă seria de putere converge pentru. atunci converge (și absolut) pentru fiecare valoare a lui x. satisface inegalitatea (teorema lui Abel).
O consecință a teoremei lui Abel este existența seriei de puteri pentru fiecare interval de convergență. sau centrat la un punct. în interiorul căruia o serie de putere converge absolut și fără de care diverge. La capetele intervalului de convergență (în puncte) serii diferite de putere se comporta diferit: unul converg absolut la ambele capete, altele - sau condiționat converg la ambele capete, sau unul dintre ele converg în mod arbitrar pe un alt divergente, iar altele - sunt divergente pe ambele se termină.
Numărul R este numit raza de convergență a seriei de putere. În anumite cazuri, raza de convergență a seriei R poate fi egală cu zero sau infinit.
Pentru a găsi intervalul și raza de convergență a unei serii de putere, se poate utiliza una din următoarele metode.
1 fel. Dacă între coeficienții seriei nu sunt egali cu zero, adică Seria conține toate puterile întregi pozitive ale diferenței x - a.
cu condiția ca această limită (finită sau infinită) să existe.
2 fel. Dacă seria originală are forma
(unde p este un număr întreg pozitiv: 2,3, ...), atunci
3 moduri. Dacă între coeficienții seriei diferența de putere, egală cu zero, este egală cu zero,
unde sunt alți coeficienți decât zero.
4. Metoda. În toate cazurile, numărul intervalului de convergență poate fi găsită prin aplicarea direct la testul d'Alembert sau semna o serie Cauchy, formată din valorile absolute ale membrilor seriei originale.
Seria de alimentare au proprietatea că seria obținută prin diferențierea și integrarea pe termen de termen a seriei de putere, au aceeași distanță și convergența sumei convergenței în intervalul sunt, respectiv, derivatul și integralei valoarea numărului inițial. În cazul în care
Funcționarea diferențierii și integrării termen-pe termen poate fi efectuată pe o serie de puteri de câte ori doriți.
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluția: seria este o progresie geometrică cu numitorul q =. Se converge în cazul în care se diferențiază dacă. În consecință, intervalul de convergență al seriei este determinat de dubla inegalitate. Același rezultat poate fi obținut folosind formulele (4), (5).
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluție: În acest caz avem pentru n = 2k-1 și pentru n = 2k. Pentru a găsi raza de convergență, este mai convenabil să folosiți formula (5).
Să investigăm seriile la capetele integrității convergenței. Punerea. obținem seria numerică
Dar Astfel, pentru x -2. Astfel, domeniul convergenței seriei date
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluție: Aplicați testul Cauchy, presupunând
Astfel, seria converge dacă. și anume
Un exemplu. Investigați convergența seriei
Soluție: Aplicați testul d'Alembert, presupunând
seria converge dacă. și anume
5. Extinderea funcțiilor în seriile de putere.
Un număr de Taylor. Seria Maclaurin.
Orice funcție care este infinit de diferențiat în interval . poate fi extins în acest interval într-o serie de putere Taylor care converge la ea
dacă în această perioadă de timp
unde este restul termenului de formula Taylor (sau restul seriei)
Când obținem o serie de putere de Maclaurin:
Dacă într-un interval care conține un punct. pentru orice n, inegalitatea deține. unde M este o constantă pozitivă, atunci funcția f (x) poate fi de asemenea extinsă într-o serie Taylor.
Extinderea funcțiilor elementare din seria Maclaurin.
Această ultimă descompunere are loc
Un exemplu. Extindeți într-o serie puterile funcției x
Soluție: Să găsim valorile funcției și derivatelor acesteia pentru x = 0.
De la 0 Un exemplu. Extindeți într-o serie puterile funcției x Soluție: Distingem funcția n + 1 ori: În punctul x = 0 găsim, iar valoarea lui f (n + 1) (x) este determinată la punctul x = c. Obținem f (0) = 0, Noi găsim termenul de rest: Deoarece pentru orice x. dar cantitatea este limitată. În consecință, funcția poate fi reprezentată ca suma unei serii Maclaurin Un exemplu. Extindeți puterile de x. Soluție: descompunere B Înlocuim x cu-x 2; avem Un exemplu. Extindeți lnx într-o serie în puteri de x -1 Soluție: descompunere B Înlocuim x cu x - 1; avem Un exemplu. Extindeți funcția 1 / x într-o serie în puteri de x -2. Soluție: Folosim egalitatea. Partea dreaptă a acestei ecuații poate fi privită ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen și numitor
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: