Apoi drept, de asemenea, pe linie,
Voi face ca cercul să devină pătrat,
Aici, în centru, va exista o piață. Pentru piața stradală
Du-te drept. Deci, razele se deosebesc,
Spumante, de la stea. Steaua este rotundă,
Thales este adevărat.
2. Soluția lui Bing
Metoda constă în următoarele acțiuni, se calculează unghiul a, sub care este necesar să se deseneze diametrul AB al coardei AC = x, care este partea de pătrat cerută. Pentru a afla magnitudinea acestui unghi, trebuie să recurgem la trigonometrie: cos a = AC / AB = x / 2r, unde r este raza cercului.
În consecință, partea pătratului cerut x = 2r cos a, suprafața sa este egală cu 4rσcosa. Pe de altă parte, pătratul pătratului este egal cu pri = aria cercului dat. Prin urmare, 4rccos1 = pp1 unde cosIa = p / 4, cos a = 0,5 = 0,886.
Din tabele găsim: a = 27 ° 36 '
Deci, după ce am atins un coardă în acest cerc la un unghi de 27 ° 36 'față de diametru, ajungem imediat partea laterală a pătratului a cărui suprafață este egală cu aria acestui cerc.
3. Problema trisecției unui unghi
trisecțiunea unghiului nu este, în general fezabil cu ajutorul unui conducător și busolă, există curbe în care pot fi făcute la această construcție. Melcul Pascal sau trisektrisa, quadratrix (în cele mai vechi timpuri, de asemenea, numit trisektrisoy) conchoid Nicomedes, secțiunile conice, spirala lui Arhimede.
Una dintre tehnicile folosite de antici pentru rezolvarea ei a fost mecanică, cu ajutorul unei inserții. Adevărat, nu a fost considerat strict. Prin inserție se înțelege construirea unui segment al cărui capăt se află pe aceste linii și care trece printr-un anumit punct. Acesta poate fi obținut mecanic folosind o riglă pe care două marci sunt pre-marcate la o distanță egală cu lungimea segmentului dat. Această riglă este rotită în jurul unui punct fix, deplasându-se în același timp în așa fel încât una dintre mărci se deplasează de-a lungul uneia dintre liniile date. Aceasta continuă până când a doua etichetă se află pe a doua linie specificată.
Cea de-a doua problemă geometrică celei mai vechi este cea a celei mai vechi probleme geometrice. Problema împărțirii unghiului în trei părți egale. Hipocrate, a făcut prima contribuție majoră la soluționarea problemei de trigeție a unghiului. Există o modalitate destul de simplă de a împărți în trei părți egale orice unghi care era cunoscut lui Hippocrates. Acum, ia în considerare această metodă.
Această metodă constă în următoarele. Pentru un unghi dat, trageți o linie dreaptă perpendiculară pe linia dreaptă. intersectându-l într-un punct. Construim un patrulater. Prolimați până la punct. intersectează într-un punct. Prin urmare, punctul este ales astfel. atunci este de 1/3, care urma să fie dovedită.
4. Problema Delian a dublării cubului
Pe insula Delos (în Marea Egee), răspândit ciuma. Când insularii a apelat la oracolul pentru sfaturi cu privire la modul de a scăpa de o plagă, au primit un răspuns: „dublu altarul Templului lui Apollo“ La început au crezut că sarcina era ușoară. Deoarece altarul a fost o formă de cub, au construit un nou altar, al cărei margine a fost de două ori mai multe margini ale altarului vechi. Delostsy nu știa că astfel încât acestea nu au crescut de 2 ori și de 8 ori. Ciuma este încă un efort mare și ca răspuns la circulația secundară la oracolul ultimului sfat: „învață mai bine geometrie“ Conform unei alte legende, zeul atribuit dublarea altarului, nu pentru că avea nevoie de două ori pe altar, și pentru că a vrut să batjocorească pe greci „, care Nu vă gândiți la matematică și nu prețuiți geometria. "
Deoarece Delhi provocare de cei mai buni matematicieni ai lumii antice, au fost propuse mai multe soluții, dar nimeni nu a putut efectua o astfel de construcție, folosind doar o busolă și un conducător. Grecii antici au rezolvat relativ ușor problema dublării pieței. În acest scop, a fost necesar să se poată construi cu ajutorul unui conducător și busolă rădăcină pătrată a două. Luați în considerare legenda.
Legenda. Regele Minos a ordonat ridicarea unui monument al fiului său Glaucus. Arhitecții au dat monumentului o formă de cub, marginea căreia era de 100 de coți. Dar Minos a găsit acest monument prea mic și ia ordonat să se dubleze. Sensind impotența lor în rezolvarea sarcinii, arhitecții s-au îndreptat spre ajutor, dar aceștia nu au putut rezolva această problemă. Sa dovedit că soluția problemei dublării cubului este tradusă la construcția geometrică a rădăcinii cubului doi. În 1837 același P. Vanzel a demonstrat că este imposibil să se construiască, cu ajutorul doar cercului și riglei, un segment de 1/2 ori mai mare decât acesta, adică a confirmat indecidabilitatea sarcinii de a dubla cubul.
Gippokrat Chios (sfarsitul V. BC. E.), Indicat că problema se reduce la găsirea două medii proporționale între un segment și altul de două ori mai mare ea.
Archytas (începând din IV. BC. E.) Soluția propusă bazată pe intersecția torus, con și un cilindru circular.
Platon (prima jumătate a secolului al IV-lea î.Hr.) a propus o soluție mecanică bazată pe construirea a trei triunghiuri dreptunghiulare cu raportul de aspect dorit.
Menechm (mijlocul secolului al IV-lea î.Hr.) a găsit două soluții la această problemă, pe baza utilizării secțiunilor conice. În prima soluție căutăm punctul de intersecție a două parabole, în timp ce al doilea - o parabolă și hiperbolă.
Eratostene (... III-lea î.Hr.) a sugerat o altă soluție, care foloseste un instrument special mașină - mezolyabiya și a descris decizia predecesorilor lor.
Nycomed (secolul al II-lea î.Hr.) a folosit pentru a rezolva această problemă metoda de inserție, realizată cu o curbă specială - conchoidul.
O încercare de a rezolva problema dublării unui cub cu ajutorul unei busole și a unui conducător.
Grecii antici au rezolvat relativ ușor problema dublării unui pătrat. Pentru aceasta a fost necesar să se poată construi cu ajutorul unei busole și a unui conducător o rădăcină pătrată de două. Dacă partea unui anumit pătrat este egală cu a. dar partea laterală a pătratului cerut x. apoi, în funcție de condiția problemei, avem:
Pentru a construi. Este necesar să se efectueze o hypotenuse a unui triunghi drept, în care fiecare catehet este egal cu unul. Apoi, segmentul este egal cu. măriți un timp. Dacă marginea acestui cub este egală cu a. iar marginea cubului dorit este x. apoi, în funcție de condiția problemei, avem:
Cu toate acestea, toate eforturile de a construi o busolă și un conducător nu au reușit.
5. Soluția problemei dublării unui cub prin mijloace auxiliare
Decizia lui Hippocrates din Chios cu ajutorul "inserțiilor"
Unul dintre primele geometri antice grecești, a făcut un pas important în abordarea problemei dublării cubului a fost Hipocrate din Chios (a 5-c. BC). Soluția problemei stereometrice, care este sarcina Delians de a dubla cubul. Gippokrat Chios a adus considerare problema planimetric care constă în a găsi două dintre cele două segmente medii proporționale de date, din care al doilea este de două ori mai mare decât primul, adică pentru a găsi astfel de două segmente x și y. Ca, x, y, progresie geometrică 2A-, A / x = x / y = Y2a. de unde
și. Prin urmare. sau. Se pare că x este marginea cubului dorit, care este de două ori mai mare decât cubul cu marginea a. Cu toate acestea, după cum s-ar putea fi de așteptat, Hippocrate a fost în imposibilitatea de a găsi marginea cubului de dublare x folosind construcții geometrice, recurgând doar la un conducător și de busolă, dar este foarte posibil, așa cum am văzut mai sus, sarcina stereometric, pentru a reduce la o problemă plan de a găsi cele două „inserții“ x și y între a și 2a. unde a este marginea acestui cub și x este marginea dorită a cubului dublu.
Luați în considerare soluția sarcinii Delos, atribuită lui Platon. Această soluție se bazează pe următoarea lemă:
În orice trapez dreptunghiular cu diagonale perpendiculare, segmentele diagonale formează o evoluție geometrică:
Dovada: Să ABCD să fie un trapez dreptunghiular pentru care și. În acest caz, dovedim asta.
Din faptul că ambele dreptunghiulare, respectiv OB și respectiv OA, înălțimile lor, ajungem:
De la (1) și (2), în consecință, obținem:
După cum este necesar pentru a dovedi.
Soluția Buonfalche (soluție aproximativă)
Buonfalche oferă una dintre cele mai simple soluții aproximative ale problemei dublării cubului cu rigla și compasul (soluția exactă a acestei probleme cu ajutorul unui conducător și busolă, după cum se știe, poate fi dat).
Având în vedere un cub cu o margine și necesitatea de a găsi o margine x dublare cub. Soluția se va realiza aproximativ folosind numai busola și rigla. Construirea unui triunghi isoscel ABC-ul lungimea laturii laterale dreptunghiulare a. Side AC = împărțiți în 6 părți egale și este pe punctul de catetere BCot CK tochkuD punctul B, astfel încât să satisfacă ecuația
Combinând Ac D, obținem segmentul AD, pe care îl numim cu x pentru multiplicitate. Acum calculați ce este egal cu x.
Prin teorema pitagoreană vom avea:
Prin urmare, marginea cubului dublu este aproximativ egală,
Dacă marginea acestui cub este egală cu a. Astfel, dacă acest cub are o margine a. otrezkuAB, atunci x egal - de două ori pe marginea cub dorit - este aproximativ egal cu AD segment, care diferă de valoarea reală a nervurii dorită mai mici l.
Matematica are o caracteristică minunată pe care îl diferențiază de alte științe, în cazul în care trage pe unele link-ul, puteți trage întregul lanț al faptelor sale, cu ambele părți ale acesteia care preced link-ul selectat, și cei care-l urmeze. Acest lucru se datorează faptului că matematica dezvoltă propriile sale legi interne, iar aceste legi sunt conduc implacabil ca noi să spunem „B“, ori de câte ori se spune „A“. Rolul uneia dintre legăturile din dezvoltarea matematicii a jucat un rol important. Luând această legătură, puteți vedea o conexiune genetică între ea și foarte multe domenii ale matematicii vechi și noi.
Prin urmare, utilizarea acestei lucrări este de a excita un interes în probleme geometrice vechi, care pot duce la rezolvarea oricăror probleme ale timpului nostru și de a găsi răspunsurile la întrebările geometriei moderne.
1. Chistyakov V.D. Trei probleme celebre ale antichității - M. 1963.
2. Rudio F. Pe cvadratura cercului M.-L. 1936.
3. Lebedev V.I. Probleme geometrice ale antichității. 1920.
4. Manin Yu.I. Cu privire la solvabilitatea problemelor privind construcția prin intermediul unei busole și a unui conducător, EEM 1963. Cartea 4 p.205-229.
Găzduit pe Allbest.ru
Trimiteți-le prietenilor: