Profesor în matematică și fizică

În matematică școlară, există subiecte care, în mod tradițional, sunt considerate prost de profesori. Nu voi aborda motivele pentru acest lucru, deoarece aceasta este opinia mea personală. Astfel de subiecte includ, în primul rând, vectori și transformări. Ei, desigur, dificil pentru percepția elevilor școlii, precum și vectori și preobrazovaniya--l Orificiile în matematica mare. De exemplu, elevii care ajung vectorii pentru prima dată se confruntă cu faptul că matematica nu este numai numere, ci și știința obiectelor (de om), de natură diferită, pentru care ideile intuitive nu funcționează întotdeauna, și necesitatea de a percepe în mod clar teoria: definiții, proprietăți, teoreme. În principiu, vectorii nu sunt necesare pentru examen la matematică, dar ele sunt, desigur, necesare pentru percepția fizică și trece examenul în fizică. Transformarea, sincer, este cel mai important concept al matematicii superioare. Școala consideră cea mai simplă dintre cazurile sale specifice: mișcarea și homotetul. În detaliu, numai acei studenți care urmează să studieze la universități tehnice ar trebui să se familiarizeze cu ei.







Definiția. Vector este un segment de linie îndreptate, și anume segmentul în care un capăt este atribuit de început, iar celălalt capăt și să stabilească direcția: de la început până la sfârșit.

Pentru a specifica un vector, trebuie să specificați lungimea segmentului și direcția acestuia.

Astfel, un vector este un obiect matematic cu o săgeată. Numărul este lungimea segmentului, săgeata indică direcția. Suspendarea numărului săgeții cu ea nu mai poate fi tratată ca număr. Aici, de exemplu.

Luați în considerare momentele care, în mod tradițional, nu sunt învățate de elevi

Definiția. Proiecția vectorului pe axă este lungimea segmentului dintre proiecțiile începutului și sfârșitului acestuia.

Notă. Proiecția unui punct pe axă este baza perpendicularului care a scăzut de la punct la această axă.

Definiția. Coordonatele vectorului sunt proiecțiile sale pe axele de coordonate (vezi Fig.).

Fie ca un vector să fie dat apoi, conform definiției coordonatelor, unui vector de-a lungul axei x și o coordonată de-a lungul axei y

Acum, să luăm în considerare câteva formule. Lăsați un vector să fie dat și coordonatele de la începutul și sfârșitul lui și

Apoi abscisa este egală, iar ordonata este. Prin urmare, dacă sunt cunoscute coordonatele originii și sfârșitului unui vector, coordonatele acesteia sunt egale cu diferența dintre coordonatele corespunzătoare ale capătului și originii sale, adică. în cazul în care,.

Apoi, ia în considerare un triunghi dreptunghiular. Prin teorema lui Pythagoras avem. Aceasta este formula pentru lungimea unui vector

Notă. Evident, această formulă poate fi utilizată pentru a calcula distanța dintre două puncte (de exemplu, A și B, vezi Fig.).

Acum introducem doi vectori în sistemul de coordonate carteziene (pentru simplitatea coordonatelor bidimensionale). Acestea se numesc orte sau vectori de bază







Definiția. Spunem că vectorul este extins în termeni de vectori. dacă există o egalitate, unde și sunt numere numite coeficienți de expansiune

Vom învăța cum să descompunem orice vector prin vector.

Lăsați vectorul

Apoi, prin regula paralelogramului pe care o avem. După cum rezultă din figură,

Apoi, adică, am obținut descompunerea dorită

Acum luați în considerare o operație matematică importantă: produsul scalar al vectorilor. Valoarea lui constă în faptul că traduce obiecte de o natură (în cazul vectorilor noștri) în cifre. Deci ...

Definiția. Un produs scalar format din două vectori este un număr egal cu produsul lungimilor vectorilor de către cosinusul unghiului dintre ele

Desemnarea. este simbolul (simbolul) unui produs scalar

Deci, prin definiție, putem scrie, - unghiul dintre vectori și

Teorema. Să presupunem că u. atunci

Dovediți această afirmație. Vectori trebuie extinse prin vectori unitate pentru a beneficia de proprietățile produsului scalar, precum și formulele care rezultă din definiția produsului scalar: și

Teorema (criteriul perpendicularității vectorilor). Vectorii non-zero sunt perpendiculați dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero.

Definiția. Vectorii sunt numiți coliniari dacă se află pe linii drepte sau paralele

Teorema (criteriu pentru colinearitatea vectorilor). Vectorii non-zero sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale

(Vă recomandăm să înțelegeți teoremele de mai jos: La prima vedere simple, dar ele au un stil de matematică serioasă)

Să fie două seturi A și B. Noi numim conversie regula mijloace care sunt fabricate din A și B executat regula de un element A corespunde un element din B. Deci, de mișcare este o transformare în care distanțele stocate, adică

Teorema. O linie dreaptă se transformă într-o linie dreaptă atunci când se mișcă.

Fie ca mișcarea f de puncte A, B să fie dată astfel încât și.

Desenați linia prin și. Atunci, unde

Investigații. Atunci când se mișcă, raza se reflectă într-un fascicul, unghiul la un unghi, segmentul pe un segment și jumătate planul la jumătate de plan. (realizați-vă acest lucru)

Teorema (despre definirea mișcării). Să presupunem că există trei puncte non-collineare (*) A, B, C și, de asemenea, A1. B1. C1. Astfel că AB = A1 B1; BC = B1 C1; AC = A1 C1. Apoi există o mișcare f astfel încât A1 = f (A), B1 = f (B), C1 = f (C) și este unică

Definim o transformare f astfel incat M in M1 cu AM = A1M1 si BM = B1M1. Să demonstrăm că f este o mișcare. În acest scop, ia în considerare N1 = f (N) și se dovedește că MN = M1N1. De fapt, și. Atunci sunt egali. Aceasta este mișcarea. Să dovedim că este unică. Să presupunem că există o mișcare g :. Apoi, va fi în celălalt plan de jumătate, ceea ce este o contradicție, deoarece în timpul mișcării, jumătatea planului trece într-un jumătate de avion. Prin urmare, mișcarea este unică și este f

Propunerile includ transformări precum simetria centrală și axială, rotația, transportul

(*) trei puncte sunt numite colinear dacă se află pe o linie. Termenul este împrumutat din teoria vectorilor. Vectorii sunt numiți coliniari dacă se află pe linii paralele sau pe o linie dreaptă. Deoarece punctul este un vector zero, este normal să se apeleze punctele situate pe aceeași linie colineară.

Definiția. O homotetă cu centrul O și coeficientul k 0 al unui plan este transformarea planului, care cartografiază fiecare punct X într-un punct X 'astfel încât

Desemnarea: -homotetia cu centrul la O și coeficientul k

Lema. Dacă A 'și B' sunt imaginile punctelor A și B sub homothety, atunci

Teorema. Homotopul găsește fiecare linie dreaptă pe linie

Exemple de aplicare a homothety vezi secțiunea "Teoreme interesante de geometrie"







Articole similare

Trimiteți-le prietenilor: