Media aritmetică a unei serii de măsurători
Pe măsură ce n crește, valoarea medie
Formula Gauss poate fi dedusă din următoarele ipoteze:
- erorile de măsurare pot lua o serie continuă de valori;
- pentru un număr mare de observații, erori de aceeași mărime, dar de semne diferite apar la fel de frecvent;
- Probabilitatea, adică rata de eroare relativă, scade odată cu creșterea erorii. Cu alte cuvinte, erorile mari sunt mai puțin frecvente decât cele mici.
Legea normală de distribuție este descrisă de următoarea funcție:
unde σ este eroarea medie pătrată; σ2 este varianța măsurării; Hyst - adevărata valoare a valorii măsurate.
O analiză cu formula (1.13) arată că funcția de distribuție normală este simetrică față de linia X = X și este maximă pentru X = X și. Ordonanța acestui maxim poate fi găsită prin plasarea în partea dreaptă a ecuației (1.13) Xist în locul lui X. Obținem
.
din care rezultă că y (X) crește cu scăderea σ. Aria de sub curbă
trebuie să rămână constantă și egală cu 1, deoarece probabilitatea ca valoarea măsurată a lui X să fie în intervalul de la -∞ la + ∞ este egală cu 1 (această proprietate se numește condiția de normalizare a probabilității).
În Fig. 1.1 prezintă graficele celor trei funcții de distribuție normale pentru cele trei valori σ (σ3> σ2> σ1) și una Hist. Distribuția normală este caracterizată de doi parametri: valoarea medie a variabilei aleatoare, care este un număr infinit de mare de măsurători (n → ∞) coincide cu valoarea reală, iar sigma varianță. Valoarea lui σ caracterizează răspândirea erorilor față de valoarea medie asumată ca fiind adevărată. Pentru valori mici ale curbelor sigma sunt mai abrupte și valori mai mari bH mai puțin probabilă, adică abaterea de la valoarea reală a valorilor măsurate rezultatele în acest caz mai mic.
Există mai multe moduri de a estima magnitudinea unei erori de măsurare aleatorii. Evaluarea cea mai comună este folosirea unei erori standard sau standard-medie-pătrat. Uneori se aplică eroarea aritmetică medie.
Eroarea standard (medie pătrată) a mediei într-o serie de măsurători n este determinată de formula:
.
Dacă numărul de observații este foarte mare, valoarea lui Sn supusă la oscilații aleatorii aleatoare tinde spre o anumită valoare constantă σ, care se numește limita statistică a lui Sn:
Această limită este numită eroarea pătrată medie. Așa cum am menționat deja mai sus, pătratul acestei cantități se numește dispersia măsurătorii, care intră în formula Gauss (1.13).
Valoarea lui σ are o mare importanță practică. Fie ca urmare a măsurătorilor unei anumite cantități fizice să găsească media aritmetică <Х> și o anumită eroare ΔX. Dacă valoarea măsurată este supusă unei erori aleatorii, nu se poate presupune necondiționat că adevărata valoare a cantității măsurate se află în intervalul (<Х> - ΔX, <Х> + ΔX) sau (<Х> - ΔX) <Х <(<Х> + AH)). Există întotdeauna o probabilitate ca valoarea reală să se situeze în afara acestui interval.
Intervalul de încredere este intervalul de valori (<Х> - ΔX, <Х> + ΔX) din X, în care, prin definiție, ee este adevărata valoare a HIST cu o anumită probabilitate.
Fiabilitatea rezultatului unei serii de măsurători este probabilitatea ca valoarea adevărată a cantității măsurate să se încadreze într-un interval de încredere dat. Fiabilitatea rezultatului măsurătorii sau a probabilității de încredere este exprimată în fracțiuni ale unei unități sau în procente.
Fie α o probabilitate ca rezultatul măsurătorii să difere de valoarea adevărată cu o valoare nu mai mare de ΔX. Se obișnuiește să se scrie în forma:
P ((<Х> - ΔX) <Х <(<Х> + ΔΧ)) = α
Expresia (1.16) înseamnă că, cu o probabilitate egală cu α, rezultatul măsurării nu depășește intervalul de încredere de la <Х> - ΔΧ până la <Х> + AH. Cu cât este mai mare intervalul de încredere, adică, cu cât este mai mare eroarea în rezultatul măsurării ΔX, cu atât mai mult cu cât valoarea X dorită se încadrează în acest interval. În mod natural, valoarea lui α depinde de numărul n de măsurători. și de asemenea de la eroarea dată ΔX.
Astfel, pentru a caracteriza mărimea unei erori aleatorii, este necesar să specificăm două numere, și anume:
- magnitudinea erorii (sau a intervalului de încredere);
- valoare de încredere (fiabilitate).
Specificarea numai a mărimii erorii fără a specifica probabilitatea de încredere corespunzătoare este în mare măsură lipsită de sens, deoarece nu știm cât de fiabile sunt datele noastre. Cunoașterea probabilității de încredere permite estimarea gradului de fiabilitate a rezultatului obținut.
Gradul de fiabilitate necesar este determinat de natura schimbărilor care se efectuează. Eroarea pătrată medie Sn corespunde probabilității de încredere de 0,68, eroarea pătrată medie dublă (2σ) - probabilitatea de încredere de 0,95, triplata (3σ) - 0,997.
Dacă intervalul (X - σ, X + σ) este ales ca interval de încredere, atunci putem spune că dintr - o sută de rezultate ale măsurătorilor, 68 va fi neapărat în acest interval (Figura 1.2). Dacă, în timpul măsurării, eroarea absolută ΔX> 3σ, atunci această măsurare trebuie atribuită unor erori sau pierderi brute. Valoarea 3σ este de obicei luată ca eroare absolută absolută a unei singure măsurători (uneori, în loc de 3σ, este luată eroarea absolută a dispozitivului de măsurare).
Pentru orice valoare a intervalului de încredere în conformitate cu formula Gauss, probabilitatea de încredere corespunzătoare poate fi calculată. Aceste calcule sunt efectuate și rezultatele acestora sunt rezumate în Tabelul. 1.1.
Probabilitățile de încredere α pentru un interval de încredere exprimat ca o fracțiune a erorii pătrate medii ε = ΔX / σ:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: