Teoria probabilităților, statistici matematice și procese aleatorii

Teoria probabilităților, statistici matematice și procese aleatorii

Instrucțiuni metodice și soluții eșantion pentru îndeplinirea sarcinilor de control de către studenții de corespondență.







1. Probabilitatea înregistrării corecte a unui cont la o întreprindere este de 0,95. În timpul auditului, au fost luate două conturi. Care este probabilitatea ca doar unul dintre ele să fie decorat corect?

Trebuie să găsim probabilitatea evenimentului A =.

1. Pantofii și încălțămintea sunt aduse la magazinul de încălțăminte pentru reparare în raportul 2: 3. Probabilitatea unei reparații de calitate pentru cizme este de 0,9, iar pentru încălțăminte - 0,85. Pentru a verifica calitatea reparației, o pereche de pantofi este luată la întâmplare. Care este probabilitatea ca această pereche să fie reparată calitativ?

. (formula probabilității totale).

Valoarea discretă a lui X poate lua doar două valori x1 și x2, cu x1

Soluție: suma probabilităților tuturor valorilor posibile ale X este egal cu unu, deci p2 probabilitatea ca X ia o x2 valoare este egală cu p2 = 1-0,6 = 0,4. Să scriem legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X.

Teorema locală de Moivre - Laplace. În cazul în care probabilitatea p a evenimentului A în fiecare proces este constant și diferit de 0 și 1, atunci probabilitatea ca evenimentul A are loc k ori în n studii independente de un număr suficient de mare n, este aproximativ egal cu unde - și Gaussian funcția.

În practică, formula Moivre-Laplace este utilizată cu condiția.

Există tabele în care sunt plasate valorile funcției: - funcționare uniformă.

Găsiți probabilitatea ca evenimentul A să apară exact de 80 de ori în 400 de studii, dacă probabilitatea apariției acestui eveniment în fiecare test este de 0,2.







Soluție: prin ipoteză, p = 0,2; n = 400; q = 1-p = 0,8

Folosim teorema locală a lui Moivre-Laplace.

Găsim din masă. Probabilitatea dorită.

Doi jucători de șah echivalenți joacă șah. Ce este mai probabil: să câștigi două jocuri de la patru sau trei partide din șase (remizele nu sunt luate în considerare)?

Soluția. Jucătorii de șah echivalenți joacă, astfel încât probabilitatea de a câștiga, probabilitatea de a pierde este de asemenea egală. Întrucât în ​​toate părțile probabilitatea este constantă și indiferentă, în ce ordine vor fi câștigate părțile, se aplică formula Bernoulli

, unde este probabilitatea ca, pentru n procese, evenimentul să apară k ori.

Să găsim probabilitatea ca două loturi de patru să fie câștigate:

Să găsim probabilitatea ca trei loturi de șase să fie câștigate:

deoarece <, то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести.

Probabilitatea ca un luate aleatoriu produsul este conform cu standardul, egal cu 0,9. Găsiți probabilitatea ca produsele standard, dovedite 500+ 10hN va fi: a) exact 470 + 10hN produse, b) nu mai mult de 470 + 10hN și nu mai puțin de 395 + 10hN produse, c) nu mai mult de 394 + 10hN produse.

În unele zone, din 100 de familii, 80 au frigidere. Găsiți probabilitatea ca:

a) din 400 de familii 300 au frigidere;

b) din 400 de familii de la 300 la 360 (inclusiv) au frigidere;

c) din 400 de familii nu mai mult de 310 familii au frigidere;

Soluția. a) Probabilitatea ca familia să aibă un frigider este. Deoarece n = 100 este suficient de mare (condiție), aplicăm formula locală Moivre-Laplace.

b) Folosim teorema integrala Moivre-Laplace. Dacă probabilitatea apariției p A în fiecare proces este constant și diferit de 0 și 1, atunci probabilitatea ca numărul m al unui eveniment A în studii independente n cuprins în intervalul de la a la b. pentru m suficient de mare, este aproximativ egal cu

, unde este funcția Laplace;

c) Este necesar să se găsească.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatorii

Construiți un grafic al funcției de distribuție a unei variabile aleatoare și găsiți densitatea de distribuție f (x), așteptările matematice M (X) și varianța D (X).

Construim graficul funcției de distribuție

Să găsim densitatea distribuției:

Calculați așteptările matematice

Calculam varianța variabilei aleatoare X = D (X):

Găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să atingă intervalul (6; 8) dacă X este în mod normal distribuit.

unde este densitatea distribuției normale și

- Funcția Laplace este o funcție în tabel.







Trimiteți-le prietenilor: