Pentru a descrie procese aleatorii, în plus față de funcțiile de corelare, caracteristicile spectrale, în special spectrul de energie (densitatea de putere spectrală) sunt utilizate pe scară largă. Pentru a clarifica semnificația fizică a acestei cantități, permiteți-ne să realizăm următorul raționament:
Realizarea unui proces randomizat centralizat în cazul general are energie infinită și, prin urmare, nu are o transformare Fourier.
Luați în considerare procesul trunchiat, obținut de la sursă:
Realizarea unui astfel de proces este limitată în timp, deci pentru ei există transformări Fourier.
În conformitate cu ecuația lui Parseval, pentru fiecare realizare a acestui proces este valabilă următoarea relație:
unde este transformarea Fourier a implementării;
Această egalitate demonstrează că ea caracterizează distribuția energiei de realizare de-a lungul axei de frecvență. Prin prisma acestei funcții asupra tuturor realizărilor procesului, obținem densitatea spectrală a energiei procesului. Să găsim așteptările matematice:
Ea determină distribuția energiei peste frecvențele nu numai unei realizări, ci a întregului proces. Cu toate acestea, prin utilizarea sa, se poate caracteriza doar un proces staționar trunchiat cu energie finită. Pentru a obține caracteristica unui proces staționar ne-trunchiat având un proces infinit, împărțim densitatea energetică spectrală cu T și permiteți:
Caracteristica obținută este densitatea de putere spectrală a procesului staționar; determină puterea medie pe Hz la o anumită frecvență. În acest caz, puterea se datorează componentei de frecvență într-o bandă foarte îngustă în jurul frecvenței centrale va fi:
Prin urmare, această caracteristică este deseori numită și spectrul de energie. Observăm câteva proprietăți ale densității de putere spectrale:
1. din definiția sa rezultă că este nelegitim;
2. Spre deosebire de densitatea spectrală complexă obișnuită determinată de transformarea Fourier, spectrul de energie nu depinde de spectrul de faze al realizării procesului, ci este determinat în mod unic de spectrul de amplitudine;
3. Curba care descrie funcția, limitează împreună cu axa absciselor o zonă egală cu puterea procesului:
După cum se știe, pentru o funcție reală, modulul este o funcție uniformă a frecvenței, prin urmare, se poate judeca densitatea de putere spectrală cu o jumătate din graficul funcției, de exemplu pentru.
În legătură cu aceasta, introducem conceptul de densitate spectrală a puterii unilaterale dat, astfel:
Factorul "2" din această formulă asigură egalitatea :. Densitatea spectrală de putere normalizată sau spectrul de energie normalizat este raportul:
Zona de legare și 0x este întotdeauna 1.
Se aplică frecvent un model matematic de semnale în care spectrul este diferit de 0 numai într-o anumită bandă de frecvență, adică procese cu spectru finit. Diferența se numește lățimea spectrului. În condiții reale, nu există o limită tare, iar lățimea spectrului de energie este determinată de diverse criterii. Uneori, lățimea spectrului este înțeleasă ca lărgimea banda de frecvență minimă, în care partea concentrată (95%) a puterii semnalului este concentrată. Există un criteriu pentru echivalența unui dreptunghi, conform căruia lățimea echivalentă a spectrului este definită după cum urmează:
unde este valoarea maximă în banda de frecvență a procesului aleator.
astfel Este baza unui dreptunghi cu o înălțime care are aceeași arie ca și curba spectrului energetic al procesului studiat.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: