INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU IMPLEMENTAREA SARCINII 5.
Derivarea ecuației procesului de tranziție
ÎN FUNCȚIA DE TRANSMISIE.
SCOP. Aflați pentru a determina ecuația tranzitorie de la imaginea parametrului controlat de către Laplace.
Construcția procesului tranzitoriu este etapa finală în investigarea sistemului automat. În funcție de programul de tranziție primit în cadrul expunerii unice, este posibil să se determine în mod clar principalii parametri de calitate ai regulamentului - timpul de reglementare, depășirea, eroarea fixă.
Spuneți-ne:
Wy (p) - funcția de transfer a sistemului de control;
Wf (p) este funcția de transfer a sistemului prin perturbare;
U (p) este semnalul de control;
f (p) este semnalul deranjant.
Apoi, imaginea Laplace a parametrului controlat va fi:
În primul rând, luăm în considerare cazul în care semnalul de comandă U (p) acționează asupra sistemului și efectul de perturbare f (p) = 0:
Astfel, pentru a obține imaginea Laplace a coordonatei controlate, funcția de transfer (PF) trebuie înmulțită cu imaginea Laplace a efectului de intrare.
Conform tabelului 1, referința 4 la o intrare sub forma unui singur impuls U (t) = 1 „(t) image U (p) = 1 pentru acțiunea de intrare ca unitate pas U (t) = 1 (t) image U (p ) =.
Să luăm în considerare câteva exemple de obținere a ecuației unui proces tranzitoriu printr-o funcție cunoscută de transfer.
Exemplul 1. Acțiunea de intrare este unitatea impulsului U (t) = 1 '(t).
Determinați ecuația funcției de greutate.
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului controlat x (p), luând în considerare faptul că U (p) = 1.
2. Determinați rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Transformăm expresia x (p) în conformitate cu formula nr. 8 din tabelul 1 (sarcina 4).
4. Determinăm ecuația funcției de greutate prin formula nr. 8.
EXEMPLUL 2. Se dă următorul FS:
Determinați ecuația funcției de greutate.
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului reglabil.
2. Rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Transformăm expresia x (p) conform formulelor 8 și 9.
4. Determinăm ecuația funcției de greutate conform formulelor nr. 8 și 9.
x (p) = 3 * e -2t * sin (3t) + e -2t * cos (3t).
EXEMPLUL 3. Determinați ecuația funcției de tranziție în următorul
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului controlat, luând în considerare faptul că U (p) =.
2. Rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Transformați imaginea lui x (p) conform formulei # 20.
4. Determinăm ecuația funcției de greutate prin formula nr. 20.
Astfel, pentru a construi orice proces tranzitoriu (greutate sau funcție de tranziție), este în primul rând necesar să se determine rădăcinile parametrului controlat prezentat de transformarea Laplace. Acest lucru este dificil de făcut dacă numitorul este un polinom mai mare decât al treilea ordin.
DEFINIȚIA RĂDURILOR CU METODA DE APROXIMARE.
Să luăm în considerare această metodă pe un exemplu concret.
Exemplul 4. Determinarea rădăcinilor în următoarea ecuație caracteristică:
L (p) = p4 + 7,04p3 + 6,842p2 + 3,7104p + 0,5904 = 0
În prima aproximare, una dintre rădăcini poate fi determinată din ultimii doi termeni ai acestei ecuații.
3,7104p + 0,5904 = 0 p1 = - = -0,1591.
Dacă această rădăcină urma să fie calculată exact, atunci această ecuație ar fi împărțită în (p + 0,1591) fără un rest. De fapt, primim:
-_p 4 + 7,04p 3 + 6,842p 2 + 3,7104p + 0,5904 | p + 0,1591 _________.
p 4 + 0,1591p 3 p 3 + 6,8809p 2 + 5,748p
_6.8809p 3 + 6.842p 2
6,8809p 3 + 1,094p 2
_5.748p 2 + 3.7104p
Din reziduul rezultat 2.7959p + 0.5904, determinăm rădăcina din a doua aproximare.
Din nou împărțim ecuația cu p + 0.211 și obținem restul de 2.570p + 0.5904. Apoi rădăcina din cea de-a treia aproximare este p3 = -0,2297. Din nou împărțim ecuația cu p + 0.2297, etc. În cele din urmă, rădăcina din a noua aproximare este p9 = -0,24, și coeficientul de fisiune
p 3 + 6,8p 2 + 5,21p + 2,46 = 0.
În ultimii doi termeni ai acestei ecuații, determinăm din nou rădăcinile din prima aproximare
După împărțirea ecuației cu p + 0.472, restul este 2.223p + 2.46, iar rădăcina din a doua aproximare este p2 = -1.1066. Rădăcina din a treia aproximare este p3 = + 2.256. Procesul este diferit. Rădăcina nu poate fi pozitivă într-un ACS stabil.
Apoi, în termenii a trei (și nu ultimii doi) din ultimii termeni ai acestei ecuații, definim imediat două rădăcini complexe ale ecuației caracteristice.
Restul este în prima aproximație 6.033p 2 + 4.848p + 8.46.
Restul în a doua aproximare este de 5.996p 2 + 4.802p + 2.46.
Restul este în cea de-a treia aproximare 6.00p 2 + 4.80p + 3.46, care este nesemnificativ diferită de restul din cea de-a doua aproximare și determină valoarea rădăcinilor complexe.
Fracțiunea din restul din a treia aproximare
0,210p + 2,46 = 0, apoi p4 = -6,0.
Notă. Rădăcinile ecuației cubice p 3 + 6.8p 2 + 5.21p + 2.46 pot fi determinate prin metoda Carnot. Pentru a face acest lucru, il reprezentam in forma
și înlocuind p = reducibil cu o vedere incompletă.
Rădăcinile y1, y2, y3 ale ecuației cubice incomplete2 sunt egale cu:
Definiți valorile numerice ale rădăcinilor unei ecuații cubice incomplete.
Noi determinăm rădăcinile unei ecuații caracteristice date din ordinea a treia.
p1 = y1 - = -3,734- = -6,0 p3,4 = 1,867 ± j0,4996- = -0,4 ± j0,5.
Rezultatele calculării rădăcinilor ecuației de gradul trei prin metoda de aproximare și metoda Carnot-au coincis.
Verificăm validitatea determinării rădăcinilor ecuației prin teorema Vieta.
-c = -2,46 = -6,0 * (0,4 2 + 0,5 2) = -2,46
DECOMPOSIREA IMAGINII CONTROLATE
PARAMETRUL SUMEI DE FRAGMENTE SIMPLE.
Determinarea ecuației de tranziție x (t) în imaginea parametrul de control într-un caz în care numitorul are rădăcini ²n² poate fi realizată prin descompunerea unei imagini în fracții parțiale, care apoi primesc Laplace directă transformare, conform tabelului 1. Referința 4.
unde ci este coeficientul de descompunere;
pi este rădăcina ecuației.
Coeficientul de expansiune ci, în funcție de tipul rădăcinilor ecuației, este definit după cum urmează.
1 CAZUL. Toate rădăcinile sunt reale și diferite.
Apoi ecuația procesului tranzitoriu
2 CAZUL. Printre rădăcinile ²n2 reale există o rădăcină p = 0.
Apoi ecuația procesului tranzitoriu
3 CAZUL. Printre rădăcinile reale ²n2 există perechi de ² m2 de conjugate complexe.
Pentru fiecare pereche de rădăcini complexe conjugate p1,2 = -a ± jb, două valori ale coeficienților c sunt definiți:
care sunt și expresii conjugate complexe c1,2 = a ± jb.
În acest caz, modulul | c | și unghiul j.
Conform tabelului 1 (sarcina 4), fiecare pereche de rădăcini complex-conjugate corespunde unui proces tranzitoriu
x (p) = 2 * | c | * e - un t * cos (bt + j).
În cazul general, dacă există o rădăcină zero în ecuația caracteristică, ²k² - rădăcini reale și ²m² - tranzitoriu conjugat complex este descrisă de ecuația:
Notă. Cel de-al patrulea caz, atunci când există multiple rădăcini reale în ecuația din sarcina dată, nu sunt luate în considerare.
Să luăm în considerare câteva exemple de astfel de metode de obținere a ecuațiilor procesului tranzitoriu.
Exemplul 5. Un puls unic este aplicat unui sistem cu o funcție de transfer
Determinați ecuația funcției de greutate.
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului controlat, luând în considerare faptul că U (t) = 1 '(t), apoi U (p) = 1.
2. Determinați rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Se descompune imaginea rezultată x (p) în fracțiuni simple.
4. Coeficienții de depunere ci vor fi determinați după primul caz (toate rădăcinile sunt reale și diferite).
Notă. În condiții inițiale zero, suma algebrică a coeficienților extinderii obținute trebuie să fie zero.
5. Imaginea parametrului reglabil.
6. Ecuația funcției de greutate în conformitate cu formula 5 din tabelul 1 (sarcina 4).
x (t) = -0,1666 * e-t + l * e -2t -0,8334 * e-4t.
Exemplul 6. Se aplică un efect cu o singură treaptă asupra sistemului cu funcția de transfer din Exemplul 5. Determinați ecuația funcției de tranziție.
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului reglabil.
2. Determinați rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Se descompune expresia rezultată x (p) în fracțiuni simple.
4. Coeficienții extinderii lui ci vor fi determinați conform celui de-al doilea caz (printre rădăcinile reale există o rădăcină zero).
5. Imaginea parametrului reglabil.
6. Ecuația funcției de greutate conform formulelor 3 și 5 din tabelul 1 (sarcina 4).
x (t) = 0,125 + 0,1666 * e -t -0,5 * e -2t -0,2084 * e-4t.
Notă. Având în vedere că derivatul în raport cu ecuația funcției de tranziție dă ecuația funcției de greutate, să comparăm soluțiile obținute în Exemplul 6 cu soluția din Exemplul nr. 5.
x '(t) = 0 + (-1) * 0,1666 * e -t - (-2) * 0,5 * e -2t + (-4) * 0.2084 * e -4t =
= -0,1666 * e-t + e -2t -0,8336 * e-4t.
Exemplul 7. Determinați ecuația funcției de tranziție dacă FS are forma:
1. Determinați imaginea Laplace a parametrului controlat, luând în considerare faptul că u (p) =.
2. Determinați rădăcinile ecuației caracteristice.
3. Se descompune imaginea rezultată x (p) în fracțiuni simple.
4. Coeficienții extinderii ci vor fi determinați conform celui de-al treilea caz (printre rădăcinile ²n2 reale există conjugate complexe).
Pentru a pătrat numărul complex (-3 + j4), îl reprezentăm în formă exponențială.
Numărul complex rezultat poate fi reprezentat în formă exponențială în formă algebrică.
NOTĂ. Precizarea poate fi făcută și fără a fi prezentată într-o formă indicativă:
(a + jb) 3 = (a3 -3ab2) + j (3a2b-b3).
(-3 + j4) 2 = ((-3) 2 -4 2) + 2 * (-3) * j4 = -7-j24.
Continuați să definiți c1 (p2).
=
Deoarece a treia p3 rădăcină = conjugat complex -3-j4 al doilea p2 = -3 + j4, c2 valoarea (p3) va fi diferit de c1 (p2) numai semnul grad e.
Se determină valoarea lui c3 (p4 = -2).
5. Imaginea Laplace a parametrului controlat sub formă de fracțiuni simple, cu valori obținute pentru c0, c1, c2, c3.
6. Ecuația funcției de tranziție se obține prin efectuarea transformării inverse Laplace (vezi Tabelul 1, sarcina 4).
x (t) = 10-11.33 * e -2t + 1.877 * e + j111 ° * e (-3 + 4j) * t + 1.877 * e -j111 ° * e (-3-4j) * t =
= 10-11,33 * e -2t + 1,877 * (e + j * (111 ° + 4t) + e-j * (111 ° + 4t)) * e -3t.
Expresia din paranteze se transformă în conformitate cu formula lui Euler.
(e + j a + e-j a) = 2 * cosa
x (t) = 10-11,33 * e -2t + 1,877 * e -3t * 2 * cos (4t + 111 °) =
= 10-11,33 * e -2t + 3,75 * e-3 * cos (4t-1,204).
Notă. cos (111 °) = -cos (180 ° -111 °) = -cos (-69 °) = -cos (-1.204), unde 1.204 este unghiul în radiani de la j = 69 °.
Să verificăm corectitudinea calculului coeficienților c.
La t = 0, valoarea lui x (t = 0) = 0, deoarece condițiile inițiale sunt zero.
Condițiile sunt îndeplinite în corectitudinea calculului.
6. Ecuația funcției de tranziție.
x (t) = 10-11,33 * e -2t + 3,75 * e-t * cos (4t-1,204).
Exemplul 8. Se determină ecuația funcției de greutate conform FS din exemplul nr. 7:
1. Se determină imaginea Laplace a parametrului controlat, ținând seama de faptul că U (p) = 1.
2. Determinați rădăcinile ecuației caracteristice.
4. Se descompune imaginea rezultată x (p) în fracțiuni simple.
5. Determinarea coeficienților expansiunii c.
5. Să reprezentăm imaginea Laplace a parametrului controlat sub formă de fracțiuni simple luând în considerare valorile obținute c1, c2, c3.
6. Ecuația funcției de greutate este obținută prin efectuarea transformării inverse Laplace.
x (t) = 22,66 * e -2t + 7,45 * e -j * 137 ° 54 '* e (-3-j4) * t + 7,45 * e j * 137 ° 94' * e (3 + j4) * t =
= 22,66 * e -2t + 7,45 + 7,45 * e * -3t (e j * (- 137 ° 54 '+ 4t) + e -j * (- 137 ° 54' + 4t)) =
= 22,66 * e -2t + 14,9 * e -3t * cos (4t-2,4),
unde 2.4 este unghiul în radiani de la j = -137 ° 54 '.
2. CONTEXTUL DE IMPLEMENTARE A LOCURILOR.
Determinați ecuația procesului de tranziție pentru un anumit PF.
Valorile coeficienților k și Ti sunt prezentate în Tabelul 1.
Tabelul 1 - Valorile coeficienților k și T pentru sarcină 5.
3. PROCEDURA DE PERFORMANȚĂ
1. Înregistrați funcția de transfer, tipul acțiunii de control în funcție de varianta sarcinii.
2. Se determină parametrul reglabil din imaginea Laplace.
3. Identificați rădăcinile.
4. Extindeți imaginea prin Laplace a unei valori controlate în cele mai simple fracții.
5. Se determină coeficienții de descompunere C.
6. Conversia fracții parțiale cu rădăcini complexe într-o formă adecvată pentru efectuarea inversa transformatei Laplace a primului și al doilea exemplu de realizare.
7. Obțineți ecuația procesului tranzitoriu cu condiții inițiale zero.
4. CONȚINUTUL RAPORTULUI PRIVIND LUCRAREA EXECUTIVĂ.
Raportul ar trebui să arate:
2. Tipul de impact.
3. Condiții inițiale.
4. Imaginea Laplace a parametrului controlat.
5. Definiția rădăcinilor.
6. Reprezentarea unui parametru reglementat prin fracțiuni simple.
7. Calcularea coeficienților de extindere.
8. Ecuația procesului tranzitoriu.
5. ÎNTREBĂRI DE CONTROL
1. Cum apare imaginea Laplace a parametrului controlat când este pulsată, dacă u (t) = 4.
2. Cum arată imaginea Laplace a parametrului controlat atunci când pasul este afectat, dacă u (t) = 4 (t).
3. Cum se determină imaginea Laplace a parametrului controlat dacă u '(t) = 4t.
4. Ce fel de tranzitorie este procesul de stepping-in dacă rădăcinile sunt reale negative.
5. Ce fel de proces tranzitoriu face dacă rădăcinile sunt pur imaginare.
6. Ce fel de proces tranzitoriu, dacă rădăcinile sunt complexe.
7. Ce fel de tranzitorie este procesul dacă rădăcinile sunt pozitive.
8. La fel ca în prima aproximare, putem determina rădăcinile ecuației caracteristice.
9. Ca și în cea de-a doua aproximare, putem determina rădăcinile ecuației caracteristice.
10. Ce trebuie făcut dacă procesul se diferențiază atunci când se determină rădăcinile.
11. Cum se determină coeficienții de descompunere dacă rădăcinile sunt reale și diferite.
12. Cum se determină coeficienții extinderii dacă există o rădăcină egală cu zero.
13. Cum se determină coeficienții de descompunere dacă rădăcinile sunt complexe.
14. Cum se verifică corectitudinea obținerii coeficienților de descompunere.
15. Cum se obtine ecuatia procesului tranzitoriu cu actiune simultana a semnalelor de control si de perturbare.
Mai mult în secțiunea Tehnologia informației, programarea:
Trimiteți-le prietenilor: