unde este vectorul de rază al punctului de pe suprafață.
O linie pe o suprafață specificată parametric este dată de aceleași ecuații dacă α și β sunt funcții ale unui parametru. Liniile α = const, β = const formează o rețea de coordonate curbilinare pe suprafață. Pătratul diferențialului ds al lungimii arcului liniei de pe suprafață poate fi reprezentat în formă
Expresia Edα 2 + 2Fdαdβ + Gdβ 2 se numește prima formă patratică a suprafeței.
Dacă suprafața este dată de ecuația (I) sau (II), atunci ecuația planului tangent va fi în consecință
Dacă suprafața este dată de ecuațiile (III) sau ecuația (IV), atunci ecuația planului tangent
unde M (x, y, z) este punctul de tangență; X, Y, Z sunt coordonatele curente ale planului tangent.
Ecuația normală la suprafață dată de ecuația (I) are forma
Diferența dintre suprafața dσ este determinată de formula
Să presupunem că suprafața este dată de ecuația (IV), și - versorii (vectori), tangente la linii alfa (β = const), β (α = const) și îndreptate în direcția de creștere a parametrilor α, β, (, coincide cu direcția vectorilor ,). Vom nota vectorul unitate normală la suprafață, îndreptate la fiecare punct, astfel încât vectorii unitate pentru a forma un sistem corect.
Luați în considerare orice linie L1. efectuată pe suprafață prin punctul M1. Fie K curbura liniei la punctul M1. a este vectorul unității principalei normale la această linie în punctul M1 îndreptat spre concavitatea liniei. Proiecția vectorului de curbură Kv pe direcția vectorului la punctul M1 este denumită curbura normală a liniei L1 la punctul M1. O linie pe o suprafață a cărei curbură normală este zero la fiecare punct se numește o linie asimptotică.
Dacă suprafața prin punctul M1 pentru a efectua secțiune normală (un plan care trece prin normală la suprafață la punctul de M1), atunci vom obține o linie plană, care la un punct M1 a vectorului normal al vectorului principal coincide cu sau opus acesteia. Prin urmare, curbura secțiunii normale a identice sau diferite numai în semn de curbură normală Kn această secțiune. Valoarea lui Kn este determinată de formula
Expresia Ldα2 + 2Mdαdβ + Ndβ2 este numită a doua formă patratică a suprafeței. Semnul valorii lui Kn este determinat de semnul celei de-a doua forme patratice (din moment ce prima formă patratică este ds 2 și, prin urmare, este pozitivă).
Centrul de curbură a suprafeței înclinate a secțiunii coincide cu proiecția de la centrul de curbură a planului secțiunii normale având o tangenta comună cu o secțiune oblică. Dacă R - raza secțiunii normale a curburii, raza ρ curbură a secțiunii înclinate poate fi determinată din ecuația ρ = RcosX (,), unde - vectorul unitar al liniei principale normale formate de secțiunea oblică, o - versorul normală la suprafață (și este luată în punctul suprafața prin care sunt trase ambele secțiuni).
Printre toate secțiunile normale posibile ale suprafeței care trece prin punctul său M, există două secțiuni formate din planuri reciproc perpendiculare pentru care Kn ocupă cele mai mari și cele mai mici valori. Aceste două secțiuni sunt numite secțiunile principale normale, iar valorile corespunzătoare ale lui Kn sunt numite curburile principale ale suprafeței și sunt notate cu K1. K2. Valorile lui R1 = 1 / K1. R2 = 1 / K2 se numesc razele principale ale curburii suprafeței. Cantitățile K1. K2 se găsesc ca rădăcini ale ecuației patrate
Direcțiile tangentelor la principalele secțiuni normale ale suprafeței sunt numite direcțiile principale de pe suprafață. O linie pe suprafață în fiecare punct al cărei tangent are o direcție principală se numește linia de curbură. Două linii de curbură reciproc ortogonale trec prin fiecare punct al suprafeței. Prin urmare, este convenabil să se aleagă coordonatele curbilaire a, β astfel încât liniile α, β să fie liniile de curbură. Valorile
se numește curbura medie și gaussiană (totală) a suprafeței.
Punctul suprafeței în care K1 și K2 au aceleași semne (K> 0) se numește eliptic; la acest punct LN-M2> 0. În cazul mai particular, atunci când K1 = K2 în punctul de suprafață. acest punct este numit ombilical, iar atunci când K1 = K2 = 0 - punctul plat. Punctul suprafeței în care K1 și K2 au semne diferite (K<0), называется гиперболической; в этой точке LN-М 2 <0. Точка, в которой одна из величин К1. К2 равна нулю (К=0), называется параболической: в ней LN-M 2 =0.
O linie geodezică trece prin fiecare punct al suprafeței în orice direcție, determinată de faptul că în fiecare dintre punctele sale principala normală a acestei linii coincide cu cea normală față de suprafață. Linia geodezică de pe suprafață are proprietatea unei linii drepte în plan: de la toate liniile posibile de pe suprafața care trec prin două puncte arbitrare, cel mai scurt arc care leagă aceste puncte are o linie geodezică.
Multe structuri de construcție au contururi de suprafețe de rotație sau suprafețe de transfer.
Suprafața de rotație este formată prin rotirea unei linii plane (generatrice sau meridian) în jurul axei. Suprafața liniei de intersecție de rotație cu un plan perpendicular pe axa de rotație, un cerc, numit paralel. Să presupunem că axa de rotație este luată ca coordonatei axei Z. Dacă meridian dispuse în planul xOz, dat de x = x (a), z = z (a), unde α - lungimea arcului meridianul măsurată de la punctul de pornire, suprafața însăși de rotație definită prin ecuațiile x = R (a) cos β, y = R (α) sin β, z = z (α). În aceste ecuații: R (α) = x (a) - raza trecerii paralele prin punctul M (x, y, z) a suprafeței și β - unghiul dintre planul xOz și planul care trece prin axa Z și punctul M. Când Suprafața revoluției este dată de ecuațiile indicate
Suprafața de transfer este o suprafață descrisă printr-o linie (generatoare), care se deplasează în spațiu, rămânând în același timp paralel cu ea însăși (cele două linii de poziție numită paralelă, dacă se obține unul dintre ele din alta, ca urmare a deplasării fiecărui punct al liniei pe același vector - un vector de transfer) . La deplasarea generatorului, oricare dintre punctele sale fixe M0 trasează o linie. Prin urmare, putem presupune că generatorul, care se mișcă în spațiu, se sprijină pe punctul său M0 pe o linie, numită ghid.
- Ecuațiile vectorilor, respectiv ale suprafețelor de transfer de generare și ghidare. Apoi, ecuația suprafeței de transport în sine, până la un vector constant, va fi
sau într-o altă formă
Trimiteți-le prietenilor: