Solutia de multe probleme de algebră elementare este facilitată în mare măsură prin utilizarea condițiilor de simetrie ale problemei. Această carte descrie modul de utilizare simetrie în sistemele de ecuații, ecuații iraționale, inegalitățile de rezolvare, și așa mai departe .. Toate aceste probleme sunt rezolvate printr-o metodă uniformă bazată pe teoria polinoamelor simetrice.
Cartea va fi utilă elevilor, pregătirea pentru examene competitive, studenților instituțiilor pedagogice și profesorilor de matematică.
Scopul acestei cărți este de a familiariza cititorul cu o metodă destul de generală de rezolvare a sistemelor de ecuații de grade mai înalte. Nu este la fel de universal ca metoda de eliminare, deoarece nu poate fi aplicată nici unui sistem. Cu toate acestea, această metodă este aplicabilă majorității sistemelor cu care se confruntă elevul. Este esențial ca, spre deosebire de metoda de eliminare, să nu conducă la o creștere, ci la o scădere a gradului ecuațiilor.
Metoda în cauză se bazează pe utilizarea teoriei așa-numitelor polinoame simetrice. Cititorul va vedea că teoria în sine este foarte simplu și ne permite să rezolve nu numai multe ecuații algebrice, dar, de asemenea, diverse alte probleme algebrice (decizie ecuații iraționale, dovada identității și a inegalităților, factoring și așa mai departe. D.). Un număr de aceste tipuri de probleme vor fi discutate în text, iar la sfârșitul fiecărei secțiuni, cititorul va găsi sarcina la o decizie independentă. Printre aceste sarcini există, de asemenea, foarte dificilă; unele dintre ele au fost oferite la olimpiadele matematice. Cu ajutorul teoriei polinoamelor simetrice în aceste sarcini mult mai simplu și, cel mai important, realizat de recepție standard de.
CUPRINS
Introducere 5
§ 1. Polinoamele simetrice în x și y 8
1. Exemple de polinoame simetrice (8). 2. Teorema principală asupra polinomilor simetrici în două variabile (9). 3. Expresia sumelor de energie în s1 și s2 (11). 4. Dovada teoriei principale (12). 5. Teorema unicității (13). 6. Formula lui Waring (15).
§ 2. Aplicații pentru algebra elementară. I 17
7. Soluționarea sistemelor de ecuații (17). Exerciții (22). 8. Introducerea necunoscutului auxiliar (23). Exerciții (25). 9. Probleme privind ecuațiile patratice (26). Exerciții (27). 10. Inegalități (28). Exerciții (31). 11. Ecuațiile retur (31). Exerciții (37). 12. Descompunerea polinomilor simetrici în multiplicatori (37). Exerciții (41). 13. Diferite probleme (41). Exerciții (42).
Polinoamele simetrice în trei variabile. 43
14. Definiție și exemple (43). 15. Teorema principală asupra polinomilor simetrici în trei variabile (44). 16. Expresia sumelor de putere în termenii lui s1, s2, s3 (46). 17. Orbiturile monomialelor (47). 18. Dovada teoriei principale (52). Exerciții (52). 19. Formula lui Waring (53).
20. Sumele puterii inverse (54).
4. Aplicații la algebra elementară. II 55
21. Soluționarea sistemelor de ecuații cu trei necunoscute (55). Exerciții (62). 22. Factorizarea (62). Exerciții (64). 23. Dovada identității (65).
Exerciții (69). 24. Inegalități (71). Exerciții (72). 25. Scutirea de iraționalitate în numitor (73). Exerciții (79).
§ 5. Polinoame antisimetrice în trei variabile. 80
26. Definiție și exemple (80). 27. Teorema principală asupra polinomilor antisimetri (81). Exerciții (83). 28. Discriminant și aplicarea acestuia la studiul rădăcinilor ecuației (83). Exercitarea (88). 29. Aplicarea discriminantului la dovada inegalităților (88). Exercitarea (90). 30. Permutări parțiale și ciudate (90). 31. Polinoamele simetrice netede (92).
6. Aplicații la algebra elementară. III 94
32. Factorizarea (94). Exerciții (96). 33. Dovada identității și simplificarea expresiilor algebrice (97). Exerciții (98). 34. Extinderea polinomilor simetrici în trei variabile de factori (99). Exerciții (103).
Polinoamele simetrice în mai multe variabile.
35. Polinomi simetrici elementari în mai multe variabile (103). 36. Teorema principală asupra polinomilor simetrici în mai multe variabile (106). 37. Expresii de sume de putere în termeni de polinomi simetrici elementari (108). Exerciții (110). 38. Polinoamele simetrice elementare în n variabile și ecuațiile algebrice ale puterii n. Formulele Vieta (111). Exerciții (113). 39. Metoda coeficienților nedeterminați (113). Exerciții (117). 40. Aranjarea vocabularului de polinoame; membrii mai în vârstă (117). 41. Selecția termenilor polinomului f (s1, s2, sn) cu ajutorul termenilor principali (119). 42. Polinoame antisimetrice în n variabile (122). Exerciții (125). 43. Metoda generală de eliberare de iraționalitate în numitor (126).
44. Extracția rădăcinilor prin polinoame simetrice (132).
plus
Unele informații despre ecuațiile algebrice de ordin superior
45. Teorema Bezout (136). Exerciții (137). 46. Găsirea rădăcinilor întregi de polinoame cu coeficienți întregi (137). Exerciții (140). 47. Găsirea rădăcinilor complexe întregi (140). Exerciții (141). 48. Teorema fundamentală a algebrei și extinderea polinomilor în multiplicatori ai primei
din gradul (142).
Soluții 145
Trimiteți-le prietenilor: